38. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5 см. Найдите объем призмы, учитывая, что радиус окружности, описанной около основания призмы, равен 6,5 см, а высота призмы — 10 см.

Рассмотрим прямую треугольную призму $ABCA_1B_1C_1,$ в основании которой лежит $\Delta BAC,$ в котором $\angle BAC=90°, AB=5\,см,$ а боковое ребро $AA_1=h=10\,см.$ Опишем окружность около основания призмы, по условию её радиус $R=6.5\,см:$

Учитывая, что центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на средине гипотенузы, получим:

$CB=2R=2\cdot 6.5=13\,(см).$

С прямоугольного $\Delta BAC,$ применяя теорему Пифагора, найдём катет $AC:$

$AC=\sqrt{CB^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\,(см).$

Объём прямой призмы, вычисляется по формуле:

$V=S_{осн}\cdot AA_1=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot AA_1=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 5\cdot 10=300\,(см^3).$

Ответ: $300\,см^3.$