29. Найдите боковую поверхность прямого параллелепипеда, учитывая, что стороны его основания равны 2 см и 7 см, меньшая диагональ параллелепипеда — 8 см и один из углов основания — 60°.

Рассмотрим прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ С $\Delta ABD$ по теореме косинусов найдём квадрат стороны $BD:$

$BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD;$

$BD^2=2^2+7^2-2\cdot 2\cdot 7\cdot \cos 60°=39\,(см^2).$

С прямоугольного $\Delta B_1BD,$ учитывая теорему Пифагора, найдём $ВВ_1$ боковое ребро параллелепипеда:

$BB_1=\sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{8^2-39}=5\,(см).$

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на боковое ребро:

$S_{бок}=2(AB+AD)\cdot BB_1=2\cdot (2+7)\cdot 5=90\,(см^2).$

Найдём объём заданного прямого параллелепипеда по формуле:

$V=S_{осн}\cdot BB_1=AB\cdot AD\cdot\sin \angle BAD\cdot BB_1;$

$V=2\cdot 7\cdot \sin 60°\cdot 5=35\sqrt{3}\,(см^3).$

Ответ: $90\, см^2, 35\sqrt{3}\,см^3.$