20. Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13 см, BC = 10 см и боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины A1 на плоскость треугольника ABC является точка пересечения его медиан. Найдите площадь грани CC1B1B.

Решение:

Рассмотрим наклонную призму $ABCA_1B_1C_1.$ Построим высоту призмы $А_1О.$ По условию задачи $O$ — точка пересечения медиан $\Delta ABC,$ а $\Delta ABC$ — равнобедренный, $AB=AC=13\,см.$ По теореме о медиане равнобедренного треугольника $CM=MB=\dfrac{CB}{2}=\dfrac{10}{2}=5\,(см)$ и $AM\perp CB.$

С прямоугольного $\Delta AMC,$ используя теорему Пифагора, найдём медиану $АМ:$

$AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\,(см).$

Учитывая, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ начиная с вершины, получаем:

$AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\cdot 12=8\,(см).$

С прямоугольного $\Delta AOA_1$ имеем:

$AA_1=\dfrac{AO}{\sin 45°}-\dfrac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=8\sqrt{2}\,(см).$

Поскольку $AM\perp BC$ и $OM$ — проекция $A_1M$ на плоскость основания, то по обратной теореме о трёх перпендикулярах $A_1M\perp BC.$

По теореме о перпендикулярности прямой и плоскости получаем: $BC\perp (AA_1M_1M),$ следовательно $BC\perp AA_1$ по определению прямой и плоскости.

Поскольку $BC\perp AA_1$ и $AA_1\parallel CC_1\parallel BB_1,$ то $BC\perp BB_1$ и $BC\perp CC_1.$ Следовательно, $CC_1B_1B$ — прямоугольник, в котором $CC_1=BB_1-AA_1-8\sqrt{2}\,см.$

Найдём площадь грани $CC_1B_1B:$

$S_{CC_1B_1B}=CC_1\cdot CB=8\sqrt{2}\cdot 10=80\sqrt{2}\,(см^2).$

Ответ: $S_{CC_1B_1B}=80\sqrt{2}\,(см^2).$