19. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 8 см, а сторона основания — 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через: а) боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек; б) три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Решение:

а) Построим заданное сечение, которое проходит через боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек.

По теореме о медиане равнобедренного треугольника $MB\perp AC.$ Тогда с прямоугольного $\Delta ABM,$ учитывая теорему Пифагора, получаем:

$MB=\sqrt{BC^2-MC^2};$

$MB=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\,(см).$

$\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1$ как основания призмы, поэтому их соответствующие медианы равны:

$MB=M_1B_1=2\sqrt{3}\,см.$

Поскольку призма правильная, то боковые рёбра перпендикулярны её основаниям, поэтому построенное сечение — прямоугольник. Найдём его площадь:

$S_{MM_1B_1B}=MB\cdot BB_1=2\sqrt{3}\cdot 8=16\sqrt{3}\,(см^2).$

б) Построим заданное сечение, которое проходит через три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

С прямоугольного $\Delta CBB_1$ по теореме Пифагора, получаем:

$CB_1^2=CB^2+BB_1^2;$

$CB_1^2=CB^2+BB_1^2=4^2+8^2=80\,(см^2).$

$\Delta A_1AC=\Delta B_1BC$ по двум катетам, поэтому $CA_1=CB_1$ и $\Delta A_1B_1C$ — равнобедренный. Построим его высоту $CD.$ По теореме о медиане равнобедренного треугольника имеем:

$A_1D-B_1D=\dfrac{A_1B_1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\,(см).$

С прямоугольного $\Delta CDB_1,$ учитывая теорему Пифагора, находим высоту:

$CD=\sqrt{CB_1^2-B_1D^2}=\sqrt{80-2^2}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\,(см).$

Найдём площадь сечения:

$S_{A_1B_1C}=\dfrac{1}{2}A_1B_1\cdot CD;$

$S_{A_1B_1C}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot \sqrt{19}=4\sqrt{19}\,(см^2).$

Ответ: а) $16\sqrt{3}\,см^2;$ б) $4\sqrt{19}\,см^2.$