18. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 32 см, а боковое ребро — 24 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Построим заданное сечение. С прямоугольного $\Delta CBB_1$ по теореме Пифагора, получаем:

$CB_1^2=CB^2+BB_1^2;$

$CB_1=\sqrt{CB^2+BB_1^2}=\sqrt{32^2+24^2}=40\,(см).$

$\Delta A_1AC=\Delta B_1BC$ по двум катетам, поэтому $CA_1=CB_1=40\,см.$

По формуле Герона найдём площадь построенного сечения:

$S_{A_1B_1C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где $p=\dfrac{CB_1+CA_1+A_1B_1}{2}=\dfrac{40+40+32}{2}=56\,(см)$ — полупериметр, $a=CB_1=40\,см,$ $b=CA_1=40\,см,$ $c=A_1B_1=32\,см$ — стороны треугольника построенного сечения.

Тогда получаем:

$S_{A_1B_1C}=\sqrt{56\cdot (56-40)(56-40)(56-32)};$

$S_{A_1B_1C}=\sqrt{56\cdot 16\cdot 16\cdot 24};$

$S_{A_1B_1C}=16\sqrt{7\cdot 8\cdot 8\cdot 3}=128\sqrt{21}\,(см^2).$

Ответ: $128\sqrt{21}\,см^2.$