3. Сколько штрихов N на 1 см должна иметь дифракционная решетка, если спектр второго порядка отсутствует в видимой области?

Дано:

$k=2;$

$l=1\,см=0.01\,м;$

$\lambda_{\mathrm{min}}=400\,нм=4\cdot 10^{-7}\,м;$

$\lambda_{\mathrm{max}}=780\,нм=7.8\cdot 10^{-7}\,м.$

Найти:

$N-?$

Решение:

Чтобы спектр второго порядка в видимой области отсутствовал, необходимо, чтобы угол дифракции для нижней границы видимой области стал равен 90°. Тогда согласно формуле дифракционной решетки:

$d\cdot \sin 90°=k\cdot \lambda_{\mathrm{min}}.$

При этом поскольку $λ_{\mathrm{max}}<kλ_{\mathrm{min}},$ спектр первого порядка будет присутствовать для всей видимой области.

Т.к.

$d=\dfrac{l}{N},$

то:

$\dfrac{l}{N}\cdot 1=2\cdot \lambda_{\mathrm{min}},$

откуда:

$N=\dfrac{l}{2\lambda_{\mathrm{min}}}.$

Вычислим:

$N=\dfrac{0.01}{2\cdot 4\cdot 10^{-7}}\approx 1.3\cdot 10^4.$

Ответ: $N=1.3\cdot 10^4.$