8. Определите расстояние d_2 между обкладками плоского воздушного конденсатора, чтобы колебательный контур приемника был настроен на длину волны λ_2 = 120 м, если при расстоянии между ними d_1 = 3,6 мм приемник настроен на длину волны λ_1 = 150 м.

Дано:

$\lambda_1=150\,м;$

$\lambda_2=120\,м;$

$d_1=3.6\,мм=3.6\cdot 10^{-3}\,м.$

Найти:

$d_2-?$

Решение:

Длина волны:

$\lambda=cT.$

Период по формуле Томпсона:

$T=2\pi\sqrt{LC}.$

Найдем отношение:

$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{c2\pi\sqrt{LC_1}}{c2\pi\sqrt{LC_2}}=\sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}}.$

Формула ёмкости конденсатора:

$C=\dfrac{ε_0εS}{d}.$

Подставив в отношение $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}$ определение $C$, получим:

$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\sqrt{\dfrac{ε_0εS}{d1}\cdot \dfrac{d_2}{ε_0εS}}=\sqrt{\dfrac{d_2}{d_1}}.$

Возведём выражение в квадрат и выразим $d_2:$

$\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2=\dfrac{d_2}{d_1};$

$d_2=d_1\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2.$

Вычислим:

$d_2=3.6\cdot 10^{-3}\cdot \left(\dfrac{150}{120}\right)^2;$

$d_2=5.625\cdot 10^{-3}\approx 5.6\,мм.$

Ответ: $d_2=5.6\,мм.$