6. Входной контур радиоприемника содержит катушку индуктивностью L = 0,32 мГн. В каких пределах должна изменяться емкость C конденсатора контура, чтобы радиоприемник мог принимать сигналы радиостанции, работающей в диапазоне частот от v_1 = 8.0 МГц до v_2 = 24 МГц?

Дано:

$L=0.32\,мГн=3.2\cdot 10^{-4}\,Гн;$

$\nu_1=8.0\,МГц=8.0\cdot 10^6\,Гц;$

$\nu_2=24\,МГц=24\cdot 10^6\,Гц.$

Найти:

$C_1-?$

$C_2-?$

Решение:

Согласно формуле Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в последовательном $LC$-контуре:

$T=2\pi\sqrt{LC}.$

Частота колебаний равна:

$\nu=\dfrac{1}{T}.$

Вставим в формулу определение $T:$

$\nu=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

Возведём обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\nu^2=\dfrac{1}{4\pi^2 LC}.$

Найдём ёмкость конденсатора:

$C=\dfrac{1}{4\pi^2\nu^2L}.$

Значения ёмкости для заданного диапазона частот:

$C_1=\dfrac{1}{4\pi^2\nu_1^2 L},$

$C_2=\dfrac{1}{4\pi^2\nu_2^2 L}.$

Вычислим:

$C_1=\dfrac{1}{4^2\pi^2\cdot 8^2\cdot 10^{12}\cdot 3.2\cdot 10^{-4}};$

$C_1\approx 1.2\cdot 10^{-12}\,Ф\approx 1.2\,пФ;$

$C_2=\dfrac{1}{4\cdot \pi^2\cdot 24^2\cdot 10^{12}\cdot 3.2\cdot 10^{-4}};$

$C_2\approx 0.14\cdot 10^{-12}\,Ф\approx 0.14\, пФ.$

Ответ: изменяется от $1.2\,пФ$ до $0.14\,пФ.$