8. Определите полную механическую энергию W_мех гармонических колебаний материальной точки, если известны ее масса m, частота v и амплитуда A колебаний.

Дано:

$m;$

$v;$

$A.$

Найти:

$W_{мех}-?$

Решение:

По закону сохранения полной механической энергии, полная энергия колебаний равна максимальной потенциальной энергии колебаний:

$W_{мех}=\dfrac{kA^2}{2}.$

Циклическая частота колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.$

Циклическая частота связана с частотой колебаний соотношением $\omega=2\pi \nu.$

Приравняем последние выражения, чтобы найти коэффициент упругости пружины:

$2\pi \nu=\sqrt{\dfrac{k}{m}};$

$4\pi^2 \nu^2=\dfrac{k}{m};$

$k=4\pi^2 \nu^2 m.$

Подставим коэффициент упругости в первую формулу и найдём полную механическую энергию колебаний:

$W_{мех}=\dfrac{4\pi \nu^2 mA^2}{2};$

$W_{мех}=2\pi^2 \nu^2 A^2 m.$

Ответ: $W_{мех}=2\pi^2 \nu^2 A^2 m.$