7. Пружинный маятник, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, вывели из положения равновесия и без толчка отпустили. Через какую часть п периода Т кинетическая энергия прикрепленного к пружине тела будет равна потенциальной энергии W_п деформированной пружины?

Дано:

$T;$

$W_к=W_п;$

Найти:

$n-?$

Решение:

Запишем общий вид уравнения гармонических колебаний пружинного маятника:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0).$

По условию задачи отклонение в начальный момент времени равно амплитуде колебаний. Запишем уравнение колебаний для начального момента времени и найдём начальную фазу колебаний:

$A=A\cos(\omega\cdot 0+\varphi_0);$

$\cos\varphi_0=1;$

$\varphi_0=0.$

Тогда уравнения гармонических колебаний пружинного маятника примет вид:

$x(t)=A\cos\omega t.$

Полную энергию колебаний вычислим по формуле:

$W_{мех}=\dfrac{kA^2}{2}.$

Кинетическую энергию для момента времени, в который определяется потенциальная энергия, вычислим по формуле:

$W_к=W_{мех}-W_п;$

$W_к=\dfrac{kA^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2}.$

По условию задачи $W_к=W_п,$ тогда

$\dfrac{kA^2}{2}-\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2};$

$\dfrac{kA^2}{2}=kx^2;$

$x^2=\dfrac{A^2}{2};$

$x=\dfrac{A}{\sqrt{2}}.$

Подставим $x$ в уравнение гармонических колебаний маятника:

$\dfrac{A}{\sqrt{2}}=A\cos\omega t;$

$\cos\omega t =\dfrac{1}{\sqrt{2}};$

$\omega t =\dfrac{\pi}{4}.$

Учитывая, что циклическая частота вычисляется по формуле $\omega=\dfrac{2\pi}{T},$ получим:

$\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4};$

$\dfrac{t}{T}=\dfrac{1}{8};$

$n=\dfrac{t}{T}=\dfrac{1}{8}.$

Ответ: $n=\dfrac{1}{8}.$