6. Один математический маятник совершил за некоторое время N_1 = 20 колебаний, а второй за то же время совершил N_2 = 16 колебаний. Определите длину l_2 второго маятника, если известно, что разность длин маятников Δl = 10 см.

Дано:

$t_1=t_2=t;$

$N_1=20;$

$N_2=16;$

$\Delta l=10\,см=0.1\,м.$

Найти:

$l_2-?$

Решение:

Период колебаний математического маятника вычислим по формуле:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}},$

где $l$ — длина математического маятника, $g=9.8\dfrac{м}{с^2}$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Период колебаний вычислим по формуле:

$T=\dfrac{t}{N},$

где $t$ — время, в течении которого происходит $N$ колебаний.

Приравнивая эти периоды получим:

$\dfrac{t}{N}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.$

Возведём в квадрат обе части последнего уравнения и найдём длину маятника:

$\dfrac{t^2}{N^2}=4\pi^2\dfrac{l}{g};$

$l=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2}.$

Запишем формулу длины маятника для каждого маятника:

$l_1=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_1};$

$l_2=\dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_2}.$

Найдём разность длин маятников:

$\Delta l = l_2-l_1.$

Подставим выражения длин маятников:

$\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2N^2_2}-\dfrac{gt^2}{4\pi^2N_1^2};$

$\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2}\left(\dfrac{1}{N^2_2}-\dfrac{1}{N^2_1}\right);$

$\Delta l = \dfrac{gt^2}{4\pi^2}\dfrac{N^2_1-N^2_2}{N^2_1N^2_2}.$

Найдём квадрат времени, в течение которого проводилось вычисления количества колебаний:

$l_2=\dfrac{20^2\cdot 0.1}{20^2-16^2}=0.28\,м=28\,см.$

Ответ: $l_2=28\,см.$