114. На ребре GH треугольной пирамиды FGHK с равными друг другу рёбрами выбрана такая точка T, что HT : TG = 1 : 3, и через неё проведена прямая h, параллельная медиане HM боковой грани KHF и пересекающая поверхность пирамиды в точке R. Найдите ребро пирамиды, учитывая, что TR  =  6 см.

Дано: FGHKFGHK — треугольная пирамида, где GH=HK=GK=FG=FH=FK,TGH,HT:TG=1:3,Th,HMGH=HK=GK=FG=FH=FK,T\in GH, HT:TG=1:3, T\in h, HM — медиана KHF,hHM,h(FGK)=R,TR=6\triangle KHF, h\parallel HM, h\cap (FGK)=R, TR=6 см.

Найти: HK.HK.

Решение:

1) FGHKFGHK — пирамида с равными друг другу рёбрами, значит все её грани — равносторонние треугольники.

ThT\in h и hMH,h\parallel MH, значит через точку TT и прямую MHMH проходит плоскость (GMH).(GMH). Прямая h(GMH)h\subset (GMH) и hGM=R.h\cap GM=R.

2) Рассмотрим HMK,\triangle HMK, где медиана HMHM является высотой (FHK\triangle FHK — равносторонний):

Пусть aa — длина ребра пирамиды, тогда MK=12a=a2.MK=\dfrac{1}{2}a=\dfrac{a}{2}. По теореме Пифагора в HMK,\triangle HMK, в котором HMK=90°,\angle HMK=90°, HK2=HM2+MK2;HK^2=HM^2+MK^2;

MH2=HK2MK2=a2a24=3a24;MH^2=HK^2-MK^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4};

MH=a32.MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

3) Рассмотрим GRT\triangle GRT и GMH:\triangle GMH:

MGH\angle MGH — общий,

GTR=GHM\angle GTR=\angle GHM как соответственные при RTMHRT\parallel MH и секущей GH.GH. Следовательно GRT\triangle GRT подобен GMH\triangle GMH по двум углам.

4) GTGH=RTMH;\dfrac{GT}{GH}=\dfrac{RT}{MH};

34=6a32;\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}};

3a32=24;3\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=24;

a32=8;\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=8;

a3=16;a\sqrt{3}=16;

a=163=1633.a=\dfrac{16}{\sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.

Ответ: 1633.\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.

Другие задания