113. Через вершины D и Q треугольника PDQ со стороной PQ, равной 20 см, проведена плоскость  α, которой не принадлежит вершина P. Учитывая, что прямая x параллельна прямой PQ и пересекает сторону PD в такой точке C, что PC : CD  =  2 : 3:

Дано: $\triangle PDQ,$ где $P\notin \alpha, D\in \alpha, Q\in \alpha, PQ=20$ см; $x\parallel PQ, x\cap PD=C, PC:CD=2:3.$

Доказать: $x\cap \alpha = O.$

Найти: $CO.$

Решение:

а) докажите, что прямая x пересекает плоскость α.

1) $D\in \alpha$ и $Q\in \alpha,$ значит $DQ\subset \alpha.$ Следовательно $(PQD)\cap \alpha=DQ.$

2) $Q\in \alpha$ и $P\notin \alpha,$ значит $PQ\cap \alpha =Q; X\parallel PQ\Rightarrow X\cap \alpha = O,$ где $O\in DQ.$

б) найдите расстояние от точки C до точки пересечения прямой x с плоскостью α.

1) Рассмотрим $\triangle DCO$ и $\triangle DPQ:$

$\angle D$ — общий;

$\angle DOC=\angle DQP$ как соответственные при $x\parallel PQ$ и секущей $DQ.$

Следовательно $\triangle DCO$ подобен $\triangle DPQ$ по двум углам.

2) $\dfrac{DC}{DP}=\dfrac{CO}{PQ};$

$\dfrac{3}{5}=\dfrac{CO}{20};$

$CO=\dfrac{20\cdot 3}{5}=12\,(см).$

Ответ: 12 см.