108. Точка E является точкой отрезка TR, который не пересекает плоскость γ. Параллельные прямые, проведённые через точки T, R, E, пересекают плоскость γ в точках T1, R1, E1 соответственно. Докажите, что точки T1, R1, E1 лежат на одной прямой, и найдите отрезок EE1, учитывая, что TT1 = 27 см, RR1 = 15 см, TE : RE = 1 : 3.

Дано: $E\in TR, TT_1\parallel EE_1\parallel RR_1, TT_1\cap γ=T_1, EE_1\cap γ =E_1, RR_1\cap γ = R_1, TT_1=27\,см, RR_1=15\,см, TE:RE=1:3, a\subset γ$.

Доказать: $T_1\in a, E_1 \in a, R_1\in a.$

Найти: $EE_1.$

Решение:

1) Прямые $TT_1\parallel EE_1\parallel RR_1$ задают плоскость $(TRR_1), (TRR_1)\cap γ=a.$ Следовательно $T_1, E_1$ и $R_1$ лежат на прямой $a.$

2) Проведём прямую $RH\parallel R_1T_1.$ Т.к. $TT_1\parallel RR_1$ и $HT_1\parallel RR_1,$ то $T_1R_1RH$ — параллелограмм по определению. По свойству сторон параллелограмма $HT_1=RR_1$ и $HR=T_1R_1.$

$TH=TT_1-HT_1=TT_1-RR_1=27-15-12\,(см).$

3) $EE_1\cap HR=O.$

Рассмотрим $\triangle ROE$ и $\triangle RHT.$

$\angle R$ — общий,

$\angle EOR=\angle THR$ как соответственные при $TH\parallel EO$ и секущей $HR.$

Следовательно $\triangle ROE$ подобен $\triangle RHT$ по двум углам.

4) $\dfrac{RE}{RT}=\dfrac{EO}{TH};$

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{EO}{12};$

$EO=\dfrac{3\cdot 12}{4}=9\,(см).$

5) $EE_1=EO+OE_1=9+15=24\,(см),$ т.к. $OE_1R_1R$ — параллелограмм и $OE_1=RR_1.$

Ответ: 24 см.