90. Имеется пирамида RMNOP, все рёбра которой равны друг другу. Сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через вершину R и прямую NP, является треугольник RNP. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R.

Решение:

Пусть $RMNOP$ — пирамида, все рёбра которой равны друг другу.

Предположим, каждое ребро равно $a.$

Рассмотрим треугольник $NRP:$

$NR=RP=a;$

$MNOP$ — квадрат, $NP=a\sqrt{2},$ значит треугольник $NRP$ — прямоугольный.

По условию $NO=RO=OP=R$ (радиус описанной окружности).

$R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};$

$a=\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2};$

$S_{бок. гр.}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2R^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2};$

$S_{бок}=4\cdot \dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}=2R^2\sqrt{3}.$

Ответ: $S_{бок}=2R^2\sqrt{3}.$