85. На рисунке 126 изображена правильная пирамида ABCDE и на ребре AE отмечена его середина M. Треугольник BMD — сечение этой пирамиды плоскостью, которой принадлежат прямая BD и точка M. Найдите высоты треугольника BMD, учитывая, что все рёбра пирамиды равны 20 мм.

Решение:

$ABCDE$ — правильная пирамида с равными рёбрами по 20 мм.

$BM=MD=\dfrac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\,(мм);$

$BO=\dfrac{20\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\,(мм);$

$MO=h_1=\sqrt{300-200}=10\,(мм);$

$h_2=h_3.$

По методу площадей $a\cdot h_1=b\cdot h_2=c\cdot h_3;$

$a\cdot h_1=20\sqrt{2}\cdot 10=200\sqrt{2};$

$h_2=h_3=200\sqrt{2}:10\sqrt{3}=\dfrac{20\sqrt{6}}{3}\,(мм).$

Ответ: $h=\dfrac{20\sqrt{6}}{3}\,мм.$