83. Дана правильная призма XYZX1Y1Z1, все рёбра которой равны друг другу. Найдите площадь сечения призмы плоскостью XY1Z1, учитывая, что полная поверхность призмы равна S.

Решение:

$XYZX_1Y_1Z_1$ — правильная пирамида, $XY=YY_1, Y_1XZ_1$ — сечение.

$S_{полн}=S.$

Предположим, ребро призмы равно $a,$ тогда

$S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок};$

$S=S_{полн}=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2=\dfrac{2a^2\left( \sqrt{3}+6\right)}{4};$

$a^2=\dfrac{4S}{2\left( \sqrt{3}+6\right)}$ (Выразим площадь сечения.)

Треугольник $Y_1XZ_1$ — равнобедренный, $OY_1=\dfrac{a}{2}; XY_1=a\sqrt{2};$

высота $OX=\sqrt{2a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2};$

$S_{сеч.}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{a\sqrt{7}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{7}}{4}.$

Подставим формулу $a^2$ в уравнение:

$S_{сеч.}=\dfrac{4S\cdot \sqrt{7}}{4\cdot 2\left(\sqrt{3}+6\right)}=\dfrac{S\sqrt{7}}{2\left(\sqrt{3}+6\right)}.$

Ответ: $S_{сеч.}=\dfrac{S\sqrt{7}}{2\left(\sqrt{3}+6\right)}.$