73. Сторона основания правильной треугольной призмы CDEC1D1E1 равна 12 см, а её боковое ребро — 6 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которой принадлежит сторона основания и противоположная верши на второго основания.

Решение:

Пусть $CDEC_1D_1E_1$ — правильная треугольная призма, $C_1E_1=12$ см, $DD_1=6$ см.

Находим площадь сечения $C_1DE_1:$

Треугольник $C_1DE$ — равнобедренный, у которого $DO$ — высота, $C_1E_1$ — основание.

Т.к. призма правильная, то по теореме Пифагора $DC_1^2=DD_1^2+C_1D_1^2.$

$DC_1=\sqrt{DD_1^2+C_1D_1^2};$

$DC_1=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}.$

Из прямоугольного треугольника $DOC_1$ по теореме Пифагора находим $DO:$

$DO=\sqrt{DC_1^2-OC_1};$

Т.к. $DO$ — высота равнобедренного треугольника $C_1DE,$ то она делит сторону основания пополам, следовательно $OC_1=\dfrac{1}{2}C_1E_1;$

$OC_1=\dfrac{1}{2}\cdot 12=6\,(см).$

$DO=\sqrt{\sqrt{180}^2-6^2}=\sqrt{180-36}=\sqrt{144}=12\,(см).$

$S_{C_1DE_1}=\dfrac{1}{2}\cdot DO\cdot C_1E_1=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 12=72\,(см^2).$

Ответ: $S_{C_1DE_1}=72\,см^2.$