69. Изобразите прямоугольный параллелепипед TPQRT1P1Q1R1 и постройте его сечение плоскостью, которая проходит через прямую T1Q1 и вершину R. Найдите площадь этого сечения, учитывая, что рёбра RT и RQ равны друг ивдругу и равны l, а радиус окружности, описанной около четырёхугольника RQQ1R1, равен a.

Решение:

$T_1RQ_1$ — сечение параллелепипеда плоскостью $T_1RQ_1;$ $RT=RQ=l, TPQR$ — квадрат; боковые грани — равные прямоугольники с диагоналями, равными $2a.$

По теореме Пифагора $T_1Q_1^2=T_1R_1^2+R_1Q_1^2;$

$T_1Q_1=\sqrt{T_1R_1^2+R_1Q_1^2}=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=l\sqrt{2}.$

Так как $R_{RQQ_1R_1}=a,$ то $RQ=2a.$

Найдём высоту по теореме Пифагора:

$RQ_1^2=RO^2+OQ_1^2;$

$RO=\sqrt{RQ_1^2-OQ^2}=\sqrt{\left( 2a\right)^2-\left( \dfrac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{4a^2-\dfrac{2l^2}{4}}=\sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}.$

$RO=\sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}.$

Сторона основания треугольника $T_1Q_1=l\sqrt{2}.$

$S_{T_1RQ_1}=\dfrac{1}{2}\cdot T_1Q_1\cdot RO=\dfrac{1}{2}\cdot l\sqrt{2}\cdot \sqrt{4a^2-\dfrac{l^2}{2}}=l\sqrt{2a^2-\dfrac{l^2}{4}}.$

Ответ: $S_{T_1RQ_1}=l\sqrt{2a^2-\dfrac{l^2}{4}}.$