67. На рисунке 117 изображена правильная пирамида RSXY, у которой грань основания равна боковой грани. На её рёбрах RS и RY отмечены их середины A и B. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью ABX. Докажите, что треугольник ABX является равно бедренным, и найдите его периметр и площадь, учитывая, что ребро пирамиды равно a.

Решение:

$RSXY$ — правильная пирамида.

Т.к. грань основания равна боковой грани, то все грани — правильные равные треугольники.

Треугольник $AXB$ — сечение пирамиды плоскостью $ABX, AX=BX$ — высоты равных правильных треугольников, значит треугольник $AXB$ — равнобедренный.

Т.к. рёбра пирамиды равны $a,$ то $AX=BX=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ и $AB=\dfrac{a}{2},$ значит

$P_{AXB}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}a}{2}+\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}\left( 2\sqrt{3}+1\right).$

Найдём высоту $XO$ этого треугольника по теореме Пифагора:

$XO=\sqrt{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2-\left( \dfrac{a}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}-\dfrac{a^2}{16}}=\sqrt{11a^2}{16}=\dfrac{a}{4}\cdot \sqrt{11}.$

$S_{AXB}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{a}{4}\cdot \sqrt{11}=\dfrac{a^2\sqrt{11}}{16}.$

Ответ: $\dfrac{a}{2}\left( 2\sqrt{3}+1\right);$ $\dfrac{a^2\sqrt{11}}{16}.$