58. Точки A и B делят рёбра QD и QE правильной четырёхугольной пирамиды QCDEF со всеми равными рёбрами в отношении 5 : 7, если считать от вершины Q. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что длина ломаной ABQFA равна 70 см.

Решение:

Пусть $QCDEF$ — правильная пирамида со всеми равными рёбрами, $QA:AD=QB:BE=5:7,$ длина ломаной $ABQFA$ равна 70 см.

Обозначим длину ребра через $a.$

Рассмотрим треугольник $AQF,$ где $\angle AQF=90°.$

$AQ=\dfrac{5}{12}QD=\dfrac{5}{12}a;$

По теореме Пифагора $AQ^2+FQ^2=AF^2;$

$AF=\sqrt{AQ^2+QF^2}=\sqrt{\left( \dfrac{15}{12}a\right)^2+a^2}=\sqrt{\dfrac{25}{144}a^2+a^2}=\sqrt{\dfrac{169}{144}a^2}=\dfrac{13}{12}a.$

Составим уравнение ломаной:

$ABQFA=\dfrac{5}{12}a+\dfrac{5}{12}a+a+\dfrac{13}{12}a=\dfrac{35}{12}a;$

$\dfrac{35a}{12}=70; a=24\,см.$

$S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=\dfrac{4a^2\sqrt{3}}{4}+a^2=576\sqrt{3}+576=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.$

Ответ: $S_{полн}=576\left(\sqrt{3}+1\right)\,см^2.$