57. Ребро основания правильной треугольной призмы IJKPML (рис. 101) относится к боковому ребру как 2 : 3. Найдите боковую поверхность призмы, учитывая, что длина ломаной IPLKMI равна 16 + 4√13 дм.

Решение:

$IJKPML$ — правильная треугольная призма, $a:l=2:3,$ длина ломаной $IPLKMI=16+4\sqrt{13}\,дм,$ пусть ребро основания равно $2a$ дм, тогда боковое ребро равно $3a$ дм.

По условию задачи

$3a+2a+3a+2\sqrt{4a^2+9a^2}=8a+2a\sqrt{13}=16+4\sqrt{13},$ откуда ребро основания равно 4 дм, а боковое ребро 6 дм.

$S_{бок}=P_{осн}\cdot l=12\cdot 6=72\,дм^2.$

Ответ: $72\,дм^2.$