53. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 12 см и образует с основанием угол в 30°. Найдите боковое ребро призмы, учитывая, что её полная поверхность равна 336 см^2 .

Решение:

$ABCD$ — равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность, $AB=12\,см, \angle{A}=30°.$ $S_{полн}=336\, см^2.$

Найдём периметр основания $P_{осн}$ и площадь основания $S_{осн}.$

Для данной трапеции справедливы формулы: высота $h=2r,$ $AB+CD=BC+AD; S_{осн} = p\cdot r$ (произведение полупериметра и радиуса вписанной окружности); $P=4AB.$

Таким образом $h=\dfrac{12}{2}=6$ (см) (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы);

$r=\dfrac{h}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ (см);

$P=4\cdot 12=48$ (см),

$p=\dfrac{P}{2}=\dfrac{48}{2}=24$ (см);

$S_{осн}=24\cdot 3=72$ $(см^2);$

$S_{бок}=S_{полн}-2S_{осн}=336 - 2\cdot 72=192\, (см^2).$

Боковое ребро $AA_1=\dfrac{S_{бок}}{p}=\dfrac{192}{48}=4\, см.$

Ответ: $4\, см.$