51. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 12 см^2 . Найдите диагональ боковой грани, учитывая, что диагональ основания равна √2 см.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $ABCD$ — квадрат, $S_{бок}=12\,см^2,$ $BD=\sqrt{2}\,см.$

Найти:

$A_1D$ — ?

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $ABD$ с гипотенузой $BD=\sqrt{2}$. Его катеты равны $1$ см: $AD=AB=1\, см.$

2) $S_{AA_1D_1D}=\dfrac{S_{бок}}{4};$

Площадь одной боковой грани $S=3\, см^2,$ следовательно боковая грань (прямоугольник) имеет размеры $1$ см и $3$ см:

$S_{AA_1D_1D}=AD\cdot AA_1;$ $AA_1=\dfrac{S_{AA_1D_1D}}{AD};$

$AA_1=\dfrac{3}{1}=3\,(см).$

3) $A_1D$ — гипотенуза треугольника $A_1AD,$ значит $A_1D^2=AA_1^2+AD^2;$ $A_1D=\sqrt{AA_1^2+AD^2};$

$A_1D=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\,(см).$

$A_1D$ — диагональ боковой грани параллелепипеда.

Ответ: $\sqrt{10}\,см.$