34. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Докажите, что все прямые, которые:

а) проходят через точку A и пересекают прямую BC, лежат в одной плоскости;

Решение:

Пусть $\alpha=(ABC),$ любая прямая $a=XY: X=A; Y=a\cap BC.$

Т.к. $X=A\in\alpha, Y\in BC \Rightarrow Y\in \alpha,$ то по Аксиоме 2 $a\subset\alpha.$ Следовательно все такие прямые лежат в плоскости $\alpha.$

б) не проходят через точку A и пересекают обе прямые AB и AC, лежат в одной плоскости.

Решение:

Пусть $a$ — любая прямая: $a=XY; X=a\cap AB;Y=a\cap AC.$

Т.к. $AB\subset\alpha,$ то $X\in \alpha; AC\subset\alpha,$ то $Y\in\alpha.$ Значит $a\subset\alpha.$ Следовательно все такие прямые лежат в плоскости $\alpha.$