16. Основанием пирамиды QABCD является ромб ABCD со стороной, равной 10 см, одна из диагоналей которого равна 16 см. Отрезок, соединяющий вершину Q пирамиды с точкой O пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 14 см (рис. 47). Найдите:
а) боковые рёбра пирамиды;
б) боковую поверхность пирамиды.
Решение:
Пусть QABCD — пирамида, ABCD — ромб, AB=10 см, диагональ основания AC=16 см, QO=14 см, O — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, QO⊥AC и QO⊥BD. Найдём:
а) боковые рёбра пирамиды. Находим другую диагональ ромба используя равенство d12+d22=2a2+2b2.
Тогда BD2=4AB2−AC2;
BD2=400−256=144;BD=12 см.
Для нахождения рёбер пирамиды воспользуемся прямоугольными треугольниками AOQ, BOQ и теоремой Пифагора, а также свойством диагоналей параллелограмма (AO=OC;BD=OD).
Боковое ребро AQ=CQ=82+142=260=265 см.
Боковое ребро BQ=QD=62+142=232=258 см.
Б) Боковую поверхность пирамиды составляют четыре равных треугольника, для нахождения площади боковой грани нужно найти высоту QF треугольника DQC.
Рассмотрим треугольник QOF: ∠QOF=90°;QO=14 см, OF=r — радиус вписанной в ромб окружности.
По формуле S=p⋅r находим p — полупириметр ромба: