14. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — √69 см. Найдите:

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида, сторона основания $AB=10$ см, $O$ — центр основания, значит $O$ — центр описанной и вписанной окружности правильного шестиугольника, $SO=\sqrt{69}$ см, $SO\perp OK: SO\perp OA,$ сторона основания $AB=10$ см. Найдём:

а) боковое ребро $SA$ и апофему $SK.$

Т.к. треугольник $AOB$ правильный, то $OA=10$ см, $OK=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ см, по теореме Пифагора $SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{69+100}=13$ см; апофема $SK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{69+75}=\sqrt{144}=12$ см.

Б) Боковую поверхность пирамиды находим по формуле $S_{бок}=6\cdot S_{ASB};$

$S_{ASB}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60$ см$^2$;

$S_{бок}=6 \cdot 60=360$ см$^2.$

В) Полную поверхность пирамиды по формуле $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн};$

$S_{осн}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot 100\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}$ см$^2;$

$S_{полн}=360+150\sqrt{3}=30(12+5\sqrt{3})$ см$^2.$

Ответ: а) $13$ см; $12$ см; б) $360$ см$^2$; в) $30(12+5\sqrt{3})$ см$^2.$