Стр. 134. Проверьте свои знания — раздел 3

Проекция может быть точкой — если прямая перпендикулярна плоскости, либо прямой — во всех остальных случаях. Ограниченным отрезком проекция целой прямой быть не может. Ответ: а), б).

Да. Средняя линия $$UV$$ треугольника $$SCB$$ параллельна $$BC$$ . В правильном тетраэдре $SA\perp BC$ : точки $$S$$ и $$A$$ равноудалены от $$B$$ и $$C$$ , поэтому прямая $$SA$$ лежит в плоскости, перпендикулярной $$BC$$ . Значит, $SA\perp UV$ .

$UV\parallel BC$ , а медиана $$AY$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ перпендикулярна $$BC$$ . Поэтому угол между $$UV$$ и $$AY$$ равен $90^\circ$ .

$CD_1\parallel BA_1$ , поэтому достаточно найти угол между диагоналями прямоугольника $$ABB_1A_1$$ . Их длины $\sqrt{a^2+c^2}$ . По теореме косинусов для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной, модуль косинуса угла равен $$|a^2-c^2|/(a^2+c^2)$$ . Ответ: $\arccos\dfrac{|a^2-c^2|}{a^2+c^2}$ . Величина $$b$$ на этот угол не влияет.

Высота треугольника к основанию $$BC$$ равна $\sqrt{15^2-9^2}=12$ см; площадь $S=18\cdot12/2=108$ см², полупериметр $$p=(18+15+15)/2=24$$ см. Радиус вписанной окружности $$r=S/p=4{,}5$$ см. По теореме о трёх перпендикулярах расстояние от $$X$$ до любой стороны равно $\sqrt{6^2+4{,}5^2}=7{,}5$ см.

Пусть $$H$$ — проекция $$C$$ на плоскость $\delta$ . Если расстояние от $$H$$ до $$MN$$ равно $$x$$ , а до $$KL$$ равно $$x+6$$ , то по теореме Пифагора $$h^2+x^2=25^2$$ , $$h^2+(x+6)^2=29^2$$ . Вычитая, получаем $$12x+36=216$$ , $$x=15$$ , $h=\sqrt{625-225}=20$ . Расположение $$H$$ между прямыми невозможно: разность квадратов расстояний 216 превосходит $$6^2$$ . Ответ: 20.

Больший угол лежит напротив стороны 42 см, значит, прилежащие к нему стороны равны 20 см и 41 см. Отрезки от верхнего конца перпендикуляра длиной 30 см до двух остальных вершин равны по теореме Пифагора $\sqrt{30^2+20^2}=10\sqrt{13}$ см и $\sqrt{30^2+41^2}=\sqrt{2581}$ см.

Пусть $$SA=16$$ см — перпендикулярное основанию ребро, а $$BC=14$$ см. Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15 по формуле Герона равна $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ см². Его высота $AH=2\cdot84/14=12$ см. Плоскости $$SAB$$ и $$SAC$$ содержат перпендикуляр $$SA$$ , поэтому двугранные углы при $$AB$$ , $$AC$$ равны $90^\circ$ . Угол при $$BC$$ имеет линейный угол $$SHA$$ , для которого $\tan\varphi=SA/AH=4/3$ , то есть $\varphi=\arccos(3/5)$ .

Пусть $$M$$ — середина $$BC$$ , $$O$$ — центр основания. Плоскость $$SAM$$ перпендикулярна $$BC$$ , поэтому расстояние между $$SA$$ и $$BC$$ равно расстоянию от $$M$$ до $$SA$$ . Высота пирамиды $SO=\sqrt{b^2-a^2/3}$ , $AM=a\sqrt3/2$ . Площадь $$SAM$$ равна $AM\cdot SO/2$ . Следовательно, расстояние $d=2S_{SAM}/SA=\dfrac{a\sqrt{3b^2-a^2}}{2b}$ . Необходимо $b>a/\sqrt3$ .

10.

Пусть $$C_0$$ , $$D_0$$ — основания перпендикуляров к линии пересечения плоскостей. Через $$D_0$$ проведём прямую, параллельную $$CC_0$$ , и отложим на ней $$D_0E=c$$ . Тогда $$EC= C_0D_0=h$$ , а $$ED$$ лежит в плоскости, перпендикулярной линии пересечения; по перпендикулярности исходных плоскостей $ED=\sqrt{c^2+d^2}$ . Поэтому $CD=\sqrt{h^2+c^2+d^2}$ . Проекция $$CD$$ на плоскость, содержащую $$C$$ , имеет длину $\sqrt{h^2+c^2}$ , на плоскость, содержащую $$D$$ , — $\sqrt{h^2+d^2}$ .