Стр. 47. Проверьте свои знания — раздел 1

Да. Через центр равностороннего треугольника можно провести перпендикуляр к его плоскости; каждая его точка равноудалена от трёх вершин. Если все шесть расстояний между четырьмя точками должны быть одинаковы, выбирается одна из двух вершин правильного тетраэдра по разные стороны основания.

Максимум $\dfrac{5\cdot4}{2}=10$ прямых: выбираем по две точки из пяти и располагаем их так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Верный вариант — г).

Четыре плоскости. Их задают четыре тройки вершин невырожденного тетраэдра: $$ABC$$ , $$ABD$$ , $$ACD$$ , $$BCD$$ .

Если три различные плоскости попарно пересекаются и не проходят через одну общую прямую, получается 3 линии пересечения — вариант б). Если у них общая прямая, все три линии совпадают. Двух различных линий быть не может: совпадение двух из них заставило бы третью совпасть с ними.

Нарисована правильная шестиугольная призма, соответствие вершин оснований: $A\leftrightarrow P$ , $B\leftrightarrow Q$ , $C\leftrightarrow R$ , $D\leftrightarrow S$ , $E\leftrightarrow T$ , $F\leftrightarrow U$ .

а) Плоскость $$UQR$$ — плоскость верхнего основания. С ней пересекаются плоскости всех шести боковых граней: $$ABQP$$ , $$BCRQ$$ , $$CDSR$$ , $$DETS$$ , $$EFUT$$ , $$FAPU$$ .

б) Прямую $$FT$$ пересекают плоскости обоих оснований и боковых граней $$ABQP$$ , $$CDSR$$ , $$DETS$$ , $$FAPU$$ . Плоскость $$EFUT$$ содержит эту прямую, а $$BCRQ$$ параллельна ей. Здесь рассматриваются целые плоскости и прямая, включая их продолжения.

Площадь основания $S_{\text{осн}}=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3\text{ см}^2$ . Боковая поверхность $S_{\text{бок}}=3\cdot6\cdot11=198\text{ см}^2$ . Полная поверхность $S=198+18\sqrt3\text{ см}^2$ .

Пусть сторона основания $$2t$$ , боковое ребро $$3t$$ . На ломаной $$IPLKMI$$ два боковых ребра, одна сторона основания и две диагонали боковых граней. Поэтому $L=2\cdot3t+2t+2\sqrt{(2t)^2+(3t)^2}=2t(4+\sqrt{13})$ . Из условия $$t=1/2$$ . Значит, сторона основания 1 см, боковое ребро 1,5 см и $S_{\text{бок}}=3\cdot1\cdot1{,}5=4{,}5\text{ см}^2$ .

Обозначим сторону основания $$x$$ , апофему $$l$$ . Тогда $\dfrac32xl=30\,420$ , $$l^2=169^2-x^2/4$$ . Следовательно, $x^2(28\,561-x^2/4)=411\,278\,400$ . Корни для $$x^2$$ равны $16\,900$ и $97\,344$ . Второй даёт $$x=312$$ мм, что невозможно: радиус основания $312/\sqrt3$ больше бокового ребра 169 мм. Поэтому $$x=130$$ мм. Площадь основания $S=\dfrac{130^2\sqrt3}{4}=4\,225\sqrt3\text{ мм}^2$ .

Пусть $$O$$ — центр основания, $$M$$ — середина стороны. Тогда $AO=6\sqrt2$ , $$OM=6$$ , высота $$SO=16$$ см.

а) Боковое ребро $SA=\sqrt{16^2+(6\sqrt2)^2}=2\sqrt{82}$ см; апофема $SM=\sqrt{16^2+6^2}=2\sqrt{73}$ см.

б) $S_{\text{бок}}=\dfrac12\cdot48\cdot2\sqrt{73}=48\sqrt{73}\text{ см}^2$ .

в) $S_{\text{полн}}=144+48\sqrt{73}\text{ см}^2$ .

10.

Плоскость $$RUV$$ проходит через вершину $$R$$ и диагональ $$UV$$ квадратного основания $$USVW$$ . Поэтому $Q=\dfrac12a\sqrt2\cdot H$ , откуда $H=\dfrac{Q\sqrt2}{a}$ . Апофема $l=\sqrt{H^2+a^2/4}$ . Боковая поверхность $S_{\text{бок}}=2al=\sqrt{8Q^2+a^4}$ .