Стр. 131. Пространственное моделирование — площади проекций

а) Пусть сторона $$FG$$ лежит в плоскости проекций, а $$E_1$$ — проекция вершины $$E$$ . Опустим в треугольнике $$EFG$$ высоту $$EH$$ к $$FG$$ . По теореме о трёх перпендикулярах её проекция $$E_1H$$ также перпендикулярна $$FG$$ . В прямоугольном треугольнике $$EE_1H$$ имеем $E_1H=EH\cos\beta$ . Поэтому

S_{\text{пр}}=\dfrac12FG\cdot E_1H=\dfrac12FG\cdot EH\cos\beta=S\cos\beta.

б) Проведём через сторону треугольника, параллельную плоскости проекций, вспомогательную плоскость, параллельную ей. На эту плоскость треугольник проектируется как в пункте а). Дальнейший перенос проекции вдоль перпендикуляра на исходную плоскость не меняет её площади. Значит, снова $S_{\text{пр}}=S\cos\beta$ .

в) Разобьём многоугольник на треугольники. Для каждого площадь проекции равна площади треугольника, умноженной на один и тот же $\cos\beta$ . Складывая площади, получаем $S_{\text{пр}}=S\cos\beta$ .

г) Пусть три плоских угла тетраэдра $$AIJK$$ при вершине $$J$$ прямые. Обозначим площадь противоположной грани $$AIK$$ через $$S$$ , площади остальных граней — $$S_1,S_2,S_3$$ . Ортогональные проекции $$AIK$$ на плоскости $$AIJ$$ , $$AJK$$ , $$IJK$$ совпадают с этими треугольниками, поскольку соответствующее ребро из $$J$$ перпендикулярно плоскости.

Если углы между $$(AIK)$$ и тремя координатными в этом построении плоскостями равны $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ , то

S_i=S|\cos\alpha_i|.

\cos^2\alpha_1+\cos^2\alpha_2+\cos^2\alpha_3=1.

Следовательно,

\[S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2.\]

То есть $S_{AIK}^2=S_{AIJ}^2+S_{AKJ}^2+S_{IJK}^2$ .