Стр. 47. Пространственное моделирование — прочность балки

Пусть диаметр бревна равен \(d\). Концы двух диаметров образуют вписанный прямоугольник. Проекция одного диаметра на другой равна \(3d/5\), поэтому косинус угла между ними равен \(3/5\).

Если ширина и высота прямоугольного сечения равны \(b\) и \(h\), причём \(h>b\), то из теоремы Пифагора и теоремы косинусов для половин диагоналей

\[h^2+b^2=d^2,\qquad h^2-b^2=\dfrac35d^2.\]

Отсюда

\[h=\dfrac{2d}{\sqrt5},\qquad b=\dfrac d{\sqrt5}.\]
Чертёж к вопросам odel47

Прочность пропорциональна \(bh^2\), значит, для полученного прямоугольника она пропорциональна \(4d^3/(5\sqrt5)\). У квадратного сечения сторона равна \(d/\sqrt2\), поэтому соответствующее произведение равно \(d^3/(2\sqrt2)\).

Отношение прочностей

\[\dfrac{4d^3/(5\sqrt5)}{d^3/(2\sqrt2)}=\dfrac{8\sqrt{10}}{25}\approx1{,}012.\]

Ответ: при расположении большей стороны вертикально такая балка примерно на 1,2 % прочнее балки с квадратным сечением.