Стр. 18. Пространственное моделирование — развёртки

1. Выкройка куба.

Построены шесть квадратов со стороной 5 см: четыре в ряд, ещё по одному над и под вторым квадратом. Сплошные внешние линии — линии разреза, общие стороны квадратов — линии сгиба. К свободным рёбрам добавляются клапаны шириной около 0,5 см; каждый шов склеивается только одним клапаном. После сгибания получаются шесть граней куба.

2. Развёртки на рисунке 50.

а) Нет: при сгибании два крайних квадрата накладываются на одну грань.

б) Да: четыре квадрата образуют пояс боковых граней, два оставшихся закрывают разные основания.

в) Нет: полоса из шести квадратов не образует шесть различных граней куба.

г) Да: четыре квадрата образуют пояс, а два крайних у верхнего квадрата — противоположные грани.

д) Да: при последовательном сгибании каждая из шести клеток занимает свою грань.

Ответ: б), г), д).

3. Выкройка прямой призмы.

Боковая поверхность состоит из прямоугольников $6\times5$ , $3\times5$ , $3\times5$ , $3\times5$ см. Основание — равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 3 см, боковыми сторонами 3 см. Её высота

h=\sqrt{3^2-1{,}5^2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\text{ см}.

К двум противоположным сторонам прямоугольника $6\times5$ присоединены равные трапеции. Для склеивания добавляются клапаны на свободных рёбрах. Прямоугольники сгибаются в замкнутый пояс, основания закрывают его торцы.

4. Выкройка правильной четырёхугольной пирамиды.

Основание — квадрат со стороной 5 см. К каждой стороне присоединён равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7 см. Высота каждого треугольника равна

l=\sqrt{7^2-2{,}5^2}=\dfrac{\sqrt{171}}2\text{ см}.

После сгибания по сторонам квадрата четыре вершины треугольников совмещаются; клапаны на боковых рёбрах соединяют соседние грани.

5. Выкройка треугольной пирамиды.

Построено основание со сторонами 4 см, 5 см, 7 см. К каждой стороне присоединён равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7 см. Высоты этих граней к сторонам основания соответственно равны

l_4=\sqrt{49-4}=3\sqrt5,\quad l_5=\sqrt{49-\dfrac{25}4}=\dfrac{\sqrt{171}}2,

l_7=\sqrt{49-\dfrac{49}4}=\dfrac{7\sqrt3}{2}.

Свободные вершины при сгибании совмещаются в вершину пирамиды; клапаны соединяют соседние боковые рёбра.

6. Нулевой километр.

Если буквально требовать, чтобы соседние боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды были перпендикулярны, невырожденной пирамиды не получится. Пусть сторона основания равна $$a$$ , боковое ребро — $$l$$ , высота — $$H$$ . Из прямого угла между соседними рёбрами следует $$a^2=2l^2$$ . Но для правильной пирамиды $$l^2=H^2+a^2/2$$ , поэтому $$H=0$$ .

Формальное сложение площадей четырёх прямоугольных треугольников даёт $4\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{a^2}2=a^2=1{,}96\text{ м}^2$ , однако это не площадь боковой поверхности невырожденной пирамиды. Условие о перпендикулярности соседних рёбер требует исправления.

7. Возможные формы развёртки.

а) Да, у неправильной треугольной пирамиды граница развёртки может быть шестиугольником.

б) Да. Например, тетраэдр с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами длиной 2, 1 и 1 имеет квадратную развёртку. Три прямоугольных боковых треугольника присоединяются к основанию со сторонами $\sqrt5$ , $\sqrt5$ , $\sqrt2$ ; внешняя граница — квадрат со стороной 2.

в) Да: квадрат из пункта б) является также ромбом.

г) Да: четыре равносторонних треугольника, соединённые в один большой равносторонний треугольник, образуют развёртку правильного тетраэдра.

Ответ: во всех четырёх случаях — да.