§ 14. Применение векторов и координат

1. Когда применяют сложение векторов и умножение вектора на число?

При задачах на параллельность, коллинеарность, компланарность, пересечение прямых и плоскостей, деление отрезков в данном отношении. Радиус-вектор середины \(M\) отрезка \(AB\) равен \(\dfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).

2. Как найти угол между двумя прямыми?

Выбирают направляющие векторы \(\vec u\), \(\vec v\). Для острого или прямого угла между прямыми \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}\).

3. Как найти угол между двумя плоскостями?

Находят нормали \(\vec n_1\), \(\vec n_2\). Затем \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}\).

4. Как найти угол между прямой и плоскостью?

Находят направляющий вектор прямой \(\vec u\) и нормаль плоскости \(\vec n\). Тогда \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}\).

5. Как найти расстояние от точки до прямой?

Для прямой через \(A\) с направляющим вектором \(\vec u\) и точки \(M\) положим \(\vec w=\overrightarrow{AM}\). По теореме Пифагора \(d=\sqrt{|\vec w|^2-\dfrac{(\vec w\cdot\vec u)^2}{|\vec u|^2}}\).

6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

Выбирают любую точку одной прямой и находят расстояние от неё до другой прямой по формуле пункта 5.

7. Как найти расстояние от точки до плоскости?

Составляют уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) и применяют \(d=\dfrac{|Ax_M+By_M+Cz_M+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).

8. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

Через одну прямую проводят плоскость, параллельную другой. Расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости равно искомому. Если \(\vec u\), \(\vec v\) — направления прямых, выбирают ненулевую нормаль \(\vec n\) из условий \(\vec n\cdot\vec u=\vec n\cdot\vec v=0\). Для точек \(A\), \(B\) на разных прямых \(d=\dfrac{|\vec n\cdot\overrightarrow{AB}|}{|\vec n|}\).