§ 13. Скалярное произведение векторов

1. Как определяется скалярное произведение?

\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между ненулевыми векторами. Если один из векторов нулевой, скалярное произведение равно нулю.

2. Какие свойства имеет скалярное умножение?

Переместительность \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\), распределительность \(\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c\), свойство \((k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)\).

3. Как найти скалярное произведение по координатам?

\(\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\).

4. Для каких задач удобно скалярное произведение?

Для нахождения длин и углов, проверки перпендикулярности, составления уравнений плоскостей, вычисления расстояний. Например, \(|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}\), а ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение нулевое.

5. Какому условию удовлетворяют координаты точки плоскости?

Уравнению \(Ax+By+Cz+D=0\), где \(A,B,C\) не все равны нулю. Вектор \((A;B;C)\) перпендикулярен этой плоскости.

6. Как записать плоскость через точку перпендикулярно вектору?

Через \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) перпендикулярно ненулевому \(\vec n=(A;B;C)\) проходит плоскость \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\).

7. Как найти плоскость через три точки?

Если точки не лежат на одной прямой, находят нормаль, перпендикулярную двум векторам между этими точками, затем подставляют одну точку в уравнение из пункта 6. Если три точки коллинеарны, единственная плоскость не определяется.

8. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

Длину перпендикуляра из этой точки к плоскости; для точки самой плоскости оно равно нулю.

9. Как найти расстояние по координатам и уравнению плоскости?

Для \(M(x_0;y_0;z_0)\) и плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) расстояние равно \(\rho=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).