§ 12. Вектор. Действия над векторами

1. Что такое вектор? Какие векторы равны?

Вектор задаётся направленным отрезком и характеризуется длиной и направлением. Ненулевые векторы равны, если они сонаправлены и имеют равные длины. Все нулевые векторы равны.

2. Какие векторы противоположны? Что такое нулевой вектор?

Противоположные векторы имеют одинаковые длины и противоположные направления. Нулевой вектор задаётся отрезком с совпадающими началом и концом; его длина равна нулю, направление не определено.

3. Как складывают векторы?

По правилу треугольника второй вектор откладывают от конца первого; вектор от начала первого к концу второго есть сумма. Для векторов с общим началом можно использовать правило параллелограмма.

4. Какие свойства имеет сложение векторов?

Переместительность \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\), сочетательность \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\), равенства \(\vec a+\vec0=\vec a\) и \(\vec a+(-\vec a)=\vec0\).

5. Что называют разностью векторов?

Разность \(\vec a-\vec b\) — вектор, который в сумме с \(\vec b\) даёт \(\vec a\). Она равна \(\vec a+(-\vec b)\); при общем начале это вектор от конца \(\vec b\) к концу \(\vec a\).

6. Как умножают вектор на число?

Длина \(k\vec a\) равна \(|k|\,|\vec a|\). При \(k>0\) направление сохраняется, при \(k<0\) меняется на противоположное; при \(k=0\) или \(\vec a=\vec0\) результат нулевой.

7. Какие свойства имеет умножение вектора на число?

\(k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b\), \((k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a\), \(k(l\vec a)=(kl)\vec a\), \(1\vec a=\vec a\).

8. Какие векторы называются коллинеарными?

Векторы, которые можно расположить на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

9. Какое свойство имеют коллинеарные векторы?

Если \(\vec a\ne\vec0\), то \(\vec b\) коллинеарен \(\vec a\) тогда и только тогда, когда существует число \(k\) такое, что \(\vec b=k\vec a\).

10. Какие векторы называются компланарными?

Векторы, которые при откладывании от одной точки лежат в одной плоскости.

11. Какое свойство имеют компланарные векторы?

Если \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, каждый компланарный им вектор единственным образом представляется как \(\vec c=x\vec a+y\vec b\).

12. Какое свойство имеют некомпланарные векторы?

По трём некомпланарным векторам любой вектор пространства единственным образом раскладывается: \(\vec v=x\vec a+y\vec b+z\vec c\).

13. Как определяются координаты вектора?

Это коэффициенты его единственного разложения по единичным координатным векторам: \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\).

14. Как найти координаты вектора по концам отрезка?

Из координат конца вычитают координаты начала: \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)\).

15. Как найти координаты суммы векторов?

Складывают соответствующие координаты: \((a_x;a_y;a_z)+(b_x;b_y;b_z)=(a_x+b_x;\ a_y+b_y;\ a_z+b_z)\).

16. Как найти координаты произведения вектора на число?

Умножают каждую координату на число: \(k\vec a=(ka_x;ka_y;ka_z)\).

17. Как связаны координаты и единичные координатные векторы?

Если \(\vec a=(a_x;a_y;a_z)\), то \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\), где \(\vec i=(1;0;0)\), \(\vec j=(0;1;0)\), \(\vec k=(0;0;1)\).