§ 11. Координаты в пространстве

1. Как задают прямоугольную декартову систему координат?

На плоскости выбирают две взаимно перпендикулярные оси с общим началом и единичным отрезком. В пространстве выбирают три попарно перпендикулярные оси с общим началом, задают положительные направления и общий единичный отрезок.

2. Как обозначают и называют оси в пространстве?

$$Ox$$ — ось абсцисс, $$Oy$$ — ось ординат, $$Oz$$ — ось аппликат.

3. Как находят координаты точки пространства?

Точку ортогонально проектируют на каждую ось. Координаты этих проекций на осях дают абсциссу $$x$$ , ординату $$y$$ , аппликату $$z$$ с учётом положительного и отрицательного направлений.

4. Как построить точку с координатами (a; b; c)?

От начала откладывают направленный отрезок величины $$a$$ вдоль $$Ox$$ , затем параллельно $$Oy$$ — величины $$b$$ , затем параллельно $$Oz$$ — величины $$c$$ . Конец последнего отрезка — искомая точка.

5. Где лежат M(a;0;0), K(0;b;0), P(0;0;c)?

$$M$$ лежит на $$Ox$$ , $$K$$ — на $$Oy$$ , $$P$$ — на $$Oz$$ .

6. Где лежат A(a;b;0), B(0;b;c), C(a;0;c)?

$$A$$ лежит в плоскости $$xOy$$ , $$B$$ — в $$yOz$$ , $$C$$ — в $$xOz$$ .

7. Как найти расстояние между точками по координатам?

Для $$A(x_1;y_1;z_1)$$ и $$B(x_2;y_2;z_2)$$ по теореме Пифагора $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ .

8. Как найти координаты середины отрезка?

Если $$M$$ — середина $$AB$$ , то $x_M=\dfrac{x_A+x_B}2$ , $y_M=\dfrac{y_A+y_B}2$ , $z_M=\dfrac{z_A+z_B}2$ .