§ 10. Перпендикулярность плоскостей

1. Что называют углом и двугранным углом?

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Двугранный угол образуют две полуплоскости с общей граничной прямой.

2. Что называют гранями и ребром двугранного угла? Как его обозначают?

Полуплоскости называются гранями, общая граничная прямая — ребром. В обозначении $$ABCD$$ средние буквы $$B,C$$ задают ребро, а $$A,D$$ — точки разных граней вне ребра.

3. Как построить линейный угол и какое свойство он имеет?

Из одной точки ребра в каждой грани проводят луч, перпендикулярный ребру. Угол между этими лучами — линейный угол двугранного угла. Все его линейные углы равны.

4. Какие двугранные углы острые, прямые, тупые, развёрнутые?

Их вид определяется линейным углом: меньше $90^\circ$ — острый; $90^\circ$ — прямой; больше $90^\circ$ , но меньше $180^\circ$ — тупой; $180^\circ$ — развёрнутый.

5. Какие плоскости называются перпендикулярными?

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если образуют прямые двугранные углы.

6. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

7. Что известно о плоскости, перпендикулярной линии пересечения двух плоскостей?

Если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух других плоскостей, то она перпендикулярна каждой из этих двух плоскостей. Линии её пересечения с ними образуют линейный угол соответствующего двугранного угла.

8. Сформулируйте свойство прямой при перпендикулярных плоскостях.

Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая через точку одной из них перпендикулярно другой плоскости, лежит в первой плоскости. В частности, прямая первой плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна второй плоскости.

9. Что известно о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей?

Линия пересечения двух различных пересекающихся плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, перпендикулярна этой третьей плоскости.

10. Сформулируйте теорему о трёх синусах.

Если прямая в одной грани двугранного угла составляет с его ребром угол $\alpha$ , а с другой гранью угол $\beta$ , то $\sin\beta=\sin\alpha\sin\varphi$ , где $\varphi$ — линейный угол двугранного угла.

11. Почему следствие 2 называют теоремой синусов для трёхгранного угла?

Оно связывает синусы двугранных углов при трёх рёбрах с синусами противолежащих плоских углов: $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\angle BOC}=\dfrac{\sin\beta}{\sin\angle AOC}=\dfrac{\sin\gamma}{\sin\angle AOB}$ . Это пространственный аналог теоремы синусов для треугольника.

12. Сколько двугранных углов у треугольной пирамиды и параллелепипеда?

Двугранный угол соответствует каждому ребру. а) У треугольной пирамиды 6 рёбер, значит, 6 двугранных углов. б) У параллелепипеда 12 рёбер, значит, 12 двугранных углов.

13. Назовите линейные углы при рёбрах DD₁ и A₁B₁.

а) При $$DD_1$$ подходит $\angle ADC$ : $$DA$$ и $$DC$$ лежат в соответствующих гранях и обе перпендикулярны ребру. б) При $$A_1B_1$$ подходит $\angle AA_1D_1$ : лучи $$A_1A$$ и $$A_1D_1$$ перпендикулярны $$A_1B_1$$ . Оба линейных угла равны $90^\circ$ .

14. Исследуйте углы в кубе (рис. 318).

а) Нет, $\angle TVT_1$ не линейный для двугранного угла $$T_1SVT$$ : луч $$VT$$ не перпендикулярен ребру $$SV$$ . б) Да, $\angle T_1ST$ — линейный: $$ST$$ и $$ST_1$$ перпендикулярны $$SV$$ . в) Двугранный угол $$V_1UTS$$ имеет ребро $$UT$$ ; его линейный угол $\angle S_1TS=45^\circ$ , поскольку $$TSS_1T_1$$ — квадрат и $$S_1$$ принадлежит плоскости $$UTV_1$$ . Ответ: $45^\circ$ .