§ 9. Угол между прямой и плоскостью

1. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Прямая плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Обратно: если прямая плоскости перпендикулярна наклонной, она перпендикулярна и её проекции.

2. Что известно о многоугольнике со сторонами, равноудалёнными от точки пространства?

Если основание перпендикуляра из данной точки лежит внутри многоугольника, в него можно вписать окружность. Её центр совпадает с основанием перпендикуляра: равенство наклонных даёт равенство расстояний от этой точки плоскости до сторон. Без условия внутреннего положения возможны также вневписанные окружности.

3. Что известно о многоугольнике с вершинами, равноудалёнными от точки пространства?

Около него можно описать окружность. Её центр — основание перпендикуляра из данной точки к плоскости многоугольника: из равенства наклонных и общего перпендикуляра следуют равные расстояния до вершин.

4. Что называют проекцией прямой на плоскость?

Множество оснований перпендикуляров, опущенных из всех точек прямой на плоскость. Для прямой, не перпендикулярной плоскости, это прямая; для перпендикулярной — одна точка.

5. Что называют углом между прямой и плоскостью?

Для наклонной прямой это угол между ней и её ортогональной проекцией на плоскость. Для параллельной прямой угол равен $0^\circ$ , для перпендикулярной — $90^\circ$ .

6. Сформулируйте теорему о трёх косинусах.

Пусть $\alpha$ — угол прямой $$l$$ с плоскостью, $\beta$ — угол её проекции с прямой $$m$$ этой плоскости, $\gamma$ — угол $$l$$ с $$m$$ . Тогда $\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta$ при согласованном выборе углов; для углов между неориентированными прямыми берут модули косинусов.

7. Перпендикулярны ли BC и BD при углах 41° и 49° и AD ⟂ (ABC)?

Да. Из $41^\circ+49^\circ=90^\circ$ следует $\angle ABC=90^\circ$ , то есть $BC\perp AB$ . Проекция $$BD$$ на $$(ABC)$$ — $$BA$$ . По теореме о трёх перпендикулярах $BC\perp BD$ .

8. Исследуйте расстояния и углы для точки X на перпендикуляре через центр правильного треугольника.

а) Да: $$XA=XB=XC$$ , поскольку прямоугольные треугольники $$XOA$$ , $$XOB$$ , $$XOC$$ имеют общий катет $$XO$$ и равные $$OA=OB=OC$$ . б) Да: расстояния до сторон равны $\sqrt{XO^2+r^2}$ , где $$r$$ — радиус вписанной окружности основания. в) При $X\ne O$ углы $$AXO$$ , $$BXO$$ , $$CXO$$ равны по равенству тех же треугольников. г) Углы $$XAO$$ , $$XBO$$ , $$XCO$$ также равны. При $$X=O$$ углы пункта в) не определены, а углы пункта г) нулевые.

9. Назовите углы между прямыми и плоскостями (рис. 278).

а) $0^\circ$ , так как $KL\parallel(NN_1M)$ . б) $\angle M_1KL_1$ : проекция $$KM_1$$ на $$(KL_1L)$$ — $$KL_1$$ . в) $90^\circ$ , так как $KL\perp(LL_1M_1)$ . г) $\angle M_1KM$ : проекция $$KM_1$$ на основание — $$KM$$ . д) $\angle L_1KL$ . е) $\angle KM_1L$ : проекция $$KM_1$$ на $$(LMM_1)$$ — $$LM_1$$ .