§ 8. Расстояния
1. Что называют перпендикуляром к плоскости и его основанием?
Перпендикуляр к плоскости — отрезок прямой, перпендикулярной этой плоскости, с одним концом вне плоскости и другим в плоскости. Конец, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
2. Что называют наклонной к плоскости и её основанием?
Наклонная — отрезок с одним концом вне плоскости и другим в плоскости, который не перпендикулярен ей. Конец в плоскости называется основанием наклонной.
3. Сравните перпендикуляр и наклонную из одной точки.
Перпендикуляр меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости: это катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника.
4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?
Длину перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости. Для точки в плоскости расстояние равно нулю.
5. Что известно о расстояниях от точек одной параллельной плоскости до другой?
Они все равны длине общего перпендикуляра между этими плоскостями.
6. Что называют расстоянием между параллельными плоскостями?
Расстояние от любой точки одной плоскости до другой.
7. Что известно о расстояниях от точек прямой, параллельной плоскости?
Все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
8. Что называют расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?
Расстояние от любой точки прямой до плоскости.
9. Что известно об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых?
Для двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр — отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим.
10. Что называют расстоянием между скрещивающимися прямыми?
Длину их общего перпендикуляра.
11. Укажите отличия перпендикуляра и наклонной от соответствующих прямых.
а) Перпендикуляр к плоскости — ограниченный отрезок с основанием в плоскости; перпендикулярная плоскости прямая неограниченна. б) Наклонная — отрезок от внешней точки до плоскости; пересекающая плоскость прямая неограниченна и может быть как наклонной к плоскости, так и перпендикулярной ей.
12. Назовите проекции прямых на плоскости (рис. 256).
а) Проекция \(AD\) на \((BB_1C)\) — прямая \(BC\). б) Проекция \(AD\) на \((DD_1C_1)\) — точка \(D\), так как \(AD\) перпендикулярна этой плоскости. в) Проекция \(AD_1\) на \((ABC)\) — прямая \(AD\).
13. Назовите расстояния от A до указанных прямых.
а) До \(BC\) — \(AB\); б) до \(A_1B_1\) — \(AA_1\); в) до \(CC_1\) — \(AC\); г) до \(D_1C_1\) — \(AD_1\). В каждом случае указанный отрезок соединяет \(A\) с данной прямой и перпендикулярен ей.