§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Какие прямые называются перпендикулярными? Могут ли они скрещиваться?

Прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\). Да, в пространстве такие прямые могут скрещиваться.

2. Какая прямая перпендикулярна плоскости?

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

3. Что известно о прямых, перпендикулярных одной плоскости?

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

4. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

5. Что известно о прямой, перпендикулярной одной из параллельных плоскостей?

Она перпендикулярна и другой плоскости.

6. Что известно о плоскостях, перпендикулярных одной прямой?

Две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

7. Сколько плоскостей через данную точку перпендикулярны данной прямой?

Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

8. Сформулируйте утверждение о прямой через точку, перпендикулярной данной прямой.

Через данную точку проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных данной прямой в пространственном смысле: их направления лежат в плоскости, перпендикулярной ей. Если дополнительно требуется пересечение с данной прямой, а точка не лежит на ней, такой перпендикуляр единственный. Для прямой, перпендикулярной данной плоскости, верно другое утверждение: через каждую точку проходит ровно одна такая прямая.

9. Назовите в классе модели прямых, перпендикулярных плоскости.

Вертикальная ножка парты перпендикулярна полу; вертикальное ребро шкафа перпендикулярно плоскости его горизонтальной полки.

10. Сколько рёбер правильной треугольной призмы перпендикулярны выбранной грани?

Если выбрано основание, ему перпендикулярны три боковых ребра. Если выбрана боковая грань, ни одно ребро призмы не перпендикулярно её плоскости: боковые рёбра ей параллельны, а направления сторон правильного треугольника образуют между собой углы \(60^\circ\), а не \(90^\circ\).

11. Исследуйте равенства при FA ⟂ (BCF), F — середина AD.

а) Да: прямоугольные треугольники \(AFB\) и \(DFB\) имеют равные катеты \(AF=DF\) и общий \(BF\), поэтому \(AB=DB\). б) Да: если \(BF=FC\), то \(AB^2=AF^2+BF^2=AF^2+FC^2=AC^2\). в) Да: из \(AB=DC\), \(AF=DF\) и равенств \(AB^2=AF^2+BF^2\), \(DC^2=DF^2+FC^2\) следует \(BF=FC\).

12. Верны ли утверждения о перпендикулярных рёбрах параллелепипеда?

а) Да: \(CD\parallel AB\), \(B_1C_1\parallel AD\), \(A_1D_1\parallel AD\), поэтому из \(AB\perp AD\) следуют оба утверждения. б) Да: \(CC_1\parallel DD_1\), \(A_1B_1\parallel AB\), поэтому \(AB\perp CC_1\) и \(DD_1\perp A_1B_1\).