§ 6. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

1. Назовите случаи взаимного расположения двух плоскостей.

Две различные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой. Если плоскости не считаются различными, возможен и случай их совпадения.

2. Какие плоскости называются параллельными?

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

4. Что известно о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей?

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии их пересечения параллельны.

5. Что известно об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями?

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

6. Что известно об отрезках, отсекаемых тремя параллельными плоскостями?

Три параллельные плоскости отсекают на двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки: \(A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3\).

7. Сформулируйте утверждение о плоскости через данную точку параллельно данной плоскости.

Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

8. Что известно о плоскостях, параллельных другой плоскости?

Две различные плоскости, параллельные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

9. Что известно о параллельных плоскостях через скрещивающиеся прямые?

Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей: каждая из них содержит одну из прямых и параллельна другой.

10. Покажите параллельные плоскости на предметах класса.

В моём классе параллельные плоскости изображают пол и потолок, противоположные стены, верхняя и нижняя поверхности крышки парты.

11. Может ли плоскость через пересекающую α прямую m быть параллельна α?

Нет. Любая плоскость через \(m\) содержит точку \(A=m\cap\alpha\), поэтому имеет общую точку с \(\alpha\) и не параллельна ей.

12. Если m лежит в α и α параллельна β, параллельна ли m плоскости β?

Да. Поскольку \(\alpha\) и \(\beta\) не имеют общих точек, прямая \(m\subset\alpha\) также не имеет общих точек с \(\beta\).

13. Исследуйте отрезки T₁T₂, U₁U₂, V₁V₂ между параллельными плоскостями.

а) Все три четырёхугольника \(T_1U_1U_2T_2\), \(U_1V_1V_2U_2\), \(T_1V_1V_2T_2\) — параллелограммы: их соответствующие боковые стороны параллельны и равны. б) Да, \(\triangle T_1U_1V_1=\triangle T_2U_2V_2\), поскольку из параллелограммов следует равенство всех трёх пар соответствующих сторон.