80. Вариант 80

Вариант 80

Задание 1

Ответ: б) $3^{-2}=\dfrac19$ .

Задание 2

Ответ: г) $$-1$$ .

$Числовая прямая: x > −1,5$

Задание 3

Ответ: в).

$Вписанная окружность касается сторон квадрата$

Задание 4

Ответ: $$-t$$ , при $t-b\ne0$ ; при $$t=-12$$ значение равно $$12$$ .

Задание 5

Всего участников: $$8+10+12+14+16=60$$ .

$Число участников по классам:7—8,8—10,9—12,10—14,11—16$

Учащихся 10–11-х классов было $$14+16=30$$ . Их доля составляет:

\dfrac{30}{60}\cdot100\%=50\%.

Ответ: $50\%$ .

Задание 6

Квадрат среднего из трёх последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению крайних:

$При x=7 получаются три члена геометрической прогрессии20,10,5$

(x+3)^2=5(4x-8);\quad x^2+6x+9=20x-40;

x^2-14x+49=0;\quad(x-7)^2=0;\quad x=7.

Проверка: при $$x=7$$ получаем числа $$20;10;5$$ . Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=\dfrac12$ .

Ответ: $$7$$ .

Задание 7

Дополним $\triangle ABC$ до прямоугольника $$STMA$$ (см. рис.).

Его стороны равны $$5$$ см и $$4$$ см.

$Треугольник ABC на сетке с клеткой 1 см и вспомогательный прямоугольник STMA$

Площадь прямоугольника равна $5\cdot4=20$ см $$^2$$ . Из неё вычтем площади трёх прямоугольных треугольников:

S_{ASB}=\dfrac{4\cdot1}{2}=2\text{ см}^2;\quad S_{BTC}=\dfrac{4\cdot2}{2}=4\text{ см}^2;

S_{AMC}=\dfrac12\cdot5\cdot2=5\text{ см}^2.

Тогда $S_{ABC}=20-(2+4+5)=9$ см $$^2$$ .

Ответ: $$9$$ см $$^2$$ .

Задание 8

Решим неравенство $\dfrac{16}{x-6}>x-6$ , где $x\ne6$ .

$Гипербола y=16/(x−6), прямая y=x−6 и интервалы превосходства$

При $$x>6$$ умножаем на положительное $$x-6$$ : $$16>(x-6)^2$$ , откуда $$0<x-6<4$$ , то есть $$6<x<10$$ .

При $$x<6$$ множитель отрицателен, и знак меняется: $$16<(x-6)^2$$ . Тогда $$x-6<-4$$ , то есть $$x<2$$ .

Получаем $x\in(-\infty;2)\cup(6;10)$ . Натуральные значения: $$1;7;8;9$$ , их сумма $$25$$ .

Ответ: $$25$$ .

Задание 9

При $$x<-6$$ все выражения под знаками модулей отрицательны, поэтому:

$При x<−6 все четыре подмодульных выражения отрицательны$

|x-1|=-x+1;\quad |x+3|=-x-3;

|x-4|=-x+4;\quad |2x+12|=-2x-12.

Подставим эти выражения в дробь:

\dfrac{|x-1|+|x+3|-|x-4|}{|2x+12|}=

=\dfrac{-x+1-x-3+x-4}{-2x-12}=\dfrac{-x-6}{2(-x-6)}=\dfrac12.

Знаменатель не равен нулю, так как $$x<-6$$ .

Ответ: $\dfrac12$ .

Задание 10

Дано: прямоугольник $$ABCD$$ , $$AB=5$$ см, $$AD=12$$ см. Окружности вписаны в $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ ; $$M,K$$ — точки касания с $$AC$$ . Найти $$MK$$ .

$Прямоугольник5×12 с двумя окружностями и точками касанияM,K$

По теореме Пифагора $AC=\sqrt{5^2+12^2}=13$ см.

Радиусы вписанных окружностей равны: $r=\dfrac{5+12-13}{2}=2$ см.

Радиусы $$O_1T$$ и $$O_1P$$ перпендикулярны сторонам. Поэтому $$BPO_1T$$ — квадрат со стороной $$2$$ см и $$AT=5-2=3$$ см.

По свойству касательных $$AM=AT=3$$ см. Аналогично $$CK=CD-r=3$$ см.

$$MK=AC-AM-CK=13-3-3=7$$ см.

Ответ: $$7$$ см.