79. Вариант 79

Вариант 79

Задание 1

Ответ: б) $$2^2=4$$ .

Задание 2

Ответ: в) $$-2$$ .

$Числовая прямая: x > −2,5$

Задание 3

Ответ: г).

$Описанная окружность проходит через вершины четырёхугольника$

Задание 4

Ответ: $$-2x$$ , при $x+a\ne0$ ; при $$x=12$$ значение равно $$-24$$ .

Задание 5

Всего контрольную работу выполняли:

$Распределение отметок: 5—1,6—3,7—6,8—5,9—3,10—2 учащихся$

2+3+5+6+3+1=20\text{ учащихся}.

Отметки от «8» до «10» получили $$2+3+5=10$$ учащихся. Их доля составляет:

\dfrac{10}{20}\cdot100\%=50\%.

Ответ: $50\%$ .

Задание 6

Квадрат среднего из трёх последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению крайних:

$При x=3 получаются три члена геометрической прогрессии2,4,8$

(x+1)^2=2(4x-4);\quad x^2+2x+1=8x-8;

x^2-6x+9=0;\quad(x-3)^2=0;\quad x=3.

Проверка: при $$x=3$$ получаем числа $$2;4;8$$ . Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q=2$$ .

Ответ: $$3$$ .

Задание 7

Дополним треугольник до квадрата $$STMA$$ со стороной $$4$$ см, как показано на рисунке.

$Треугольник ABC на сетке с клеткой 1 см и вспомогательный квадрат STMA$

Площадь квадрата равна $4\cdot4=16$ см $$^2$$ . Из неё вычтем площади трёх прямоугольных треугольников:

S_{ASB}=S_{AMC}=\dfrac12\cdot4\cdot1=2\text{ см}^2;

S_{BTC}=\dfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5\text{ см}^2;

Тогда $S_{ABC}=16-(2+4{,}5+2)=7{,}5$ см $$^2$$ .

Ответ: $$7{,}5$$ см $$^2$$ .

Задание 8

Решим неравенство $\dfrac{9}{x-5}>x-5$ , где $x\ne5$ .

$Гипербола y=9/(x−5), прямая y=x−5 и интервалы превосходства$

При $$x>5$$ умножаем на положительное $$x-5$$ : $$9>(x-5)^2$$ , откуда $$0<x-5<3$$ , то есть $$5<x<8$$ .

При $$x<5$$ множитель отрицателен, и знак меняется: $$9<(x-5)^2$$ . Тогда $$x-5<-3$$ , то есть $$x<2$$ .

Получаем $x\in(-\infty;2)\cup(5;8)$ . Натуральные значения: $$1;6;7$$ , их сумма $$14$$ .

Ответ: $$14$$ .

Задание 9

При $$x<-4$$ все выражения под знаками модулей отрицательны, поэтому:

$При x<−4 все четыре подмодульных выражения отрицательны$

|x-2|=-x+2;\quad |x+4|=-x-4;

|x|=-x;\quad |x+2|=-x-2.

Подставим эти выражения в дробь:

\dfrac{|x-2|+|x+4|-|x|}{|x+2|}=

=\dfrac{-x+2-x-4+x}{-x-2}=\dfrac{-x-2}{-x-2}=1.

Знаменатель не равен нулю, так как $$x<-4$$ .

Ответ: $$1$$ .

Задание 10

Дано: прямоугольник $$ABCD$$ , $$AB=3$$ см, $$AD=4$$ см. Окружности вписаны в $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ ; $$M,K$$ — точки касания с $$AC$$ . Найти $$MK$$ .

$Прямоугольник3×4 с двумя окружностями и точками касанияM,K$

По теореме Пифагора $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ см.

Радиусы вписанных окружностей равны: $r=\dfrac{3+4-5}{2}=1$ см.

Радиусы $$O_1T$$ и $$O_1P$$ перпендикулярны сторонам. Поэтому $$BPO_1T$$ — квадрат со стороной $$1$$ см и $$AT=3-1=2$$ см.

По свойству касательных $$AM=AT=2$$ см. Аналогично $$CK=CD-r=2$$ см.

$$MK=AC-AM-CK=5-2-2=1$$ см.

Ответ: $$1$$ см.