78. Вариант 78

Вариант 78

Задание 1

Ответ: б) $$x>-4$$ .

$Числовая прямая: x > −4$

Задание 2

Ответ: г) $$0{,}2$$ и $$-0{,}1$$ .

Задание 3

Ответ: в).

$В прямоугольник 4 на 2 нельзя вписать окружность, касающуюся всех сторон$

Задание 4

Ответ: $1:10\,000\,000$ .

$Масштаб карты:5мм соответствуют50км$

Задание 5

Пусть вписанный угол равен $$x$$ . Соответствующий ему центральный угол равен $$2x$$ , поэтому:

$Вписанный уголx и центральный2x опираются на одну дугу$

x+2x=150^\circ;\quad x=50^\circ.

Ответ: $50^\circ$ .

Задание 6

Пусть искомая точка имеет координаты $$(x;y)$$ . По условию $$y=3x$$ . Подставим это выражение в формулу функции:

$График функции$

3x=-4x+35;\quad7x=35;\quad x=5.

Тогда $y=3\cdot5=15$ .

Ответ: $$(5;15)$$ .

Задание 7

Для нечётной функции $$f(-x)=-f(x)$$ , поэтому $$f(-5)=-f(5)=2$$ , $$f(7)=-f(-7)=-8$$ . Тогда:

$Симметрия относительно начала координат для нечётной функции$

2f(-5)+3f(7)=2\cdot2+3\cdot(-8)=-20.

Ответ: $$-20$$ .

Задание 8

Допустимые значения: $x\ne-3$ . При этом:

$Числовая прямая: ОДЗ: x ≠ −3; корень: 2$

\dfrac{x^2+3x}{x+3}=\dfrac{x(x+3)}{x+3}=x.

Поэтому уравнение равносильно уравнению:

x=6-x^2;\quad x^2+x-6=0;

(x+3)(x-2)=0;\quad x=-3\ \text{или}\ x=2.

Значение $$-3$$ не является допустимым. Остаётся корень $$2$$ .

Ответ: $$2$$ .

Задание 9

В $\triangle ABC$ биссектриса $$BK$$ пересекает медиану $$CM$$ в точке $$F$$ . Дано: $S_{ABC}=120$ см⁠ $$^2$$ , $$AB:BC=2:3$$ . Найти $S_{AMFK}$ .

$БиссектрисаBK и медианаCM пересекаются в точкеF$

По свойству биссектрисы $$AK:KC=2:3$$ . Площади треугольников с общей высотой относятся как основания:

$S_{ABK}=\dfrac25\cdot120=48$ см $$^2$$ .

Медиана делит площадь пополам: $S_{MBC}=60$ см $$^2$$ .

В $\triangle MBC$ отрезок $$BF$$ — биссектриса, а $BM=\dfrac12AB$ , поэтому $$MF:FC=BM:BC=1:3$$ .

У $\triangle MBF$ и $\triangle BFC$ общая высота к $$MC$$ . Значит, $S_{MBF}=\dfrac14\cdot60=15$ см $$^2$$ .

$S_{AMFK}=S_{ABK}-S_{MBF}=48-15=33$ см $$^2$$ .

Ответ: $$33$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Пусть в каждом ряду первого ящика $$x$$ ячеек, $$x>0$$ . Тогда в нём $\dfrac{54}{x}$ рядов. Во втором ящике $$x+5$$ ячеек в ряду и $\dfrac{54}{x}-2$ ряда. Составим уравнение:

$Число рядов и ячеек в двух ящиках$

(x+5)\left(\dfrac{54}{x}-2\right)=56.

Умножим обе части на $$x$$ и раскроем скобки:

\[54x+270-2x^2-10x=56x;\]

2x^2+12x-270=0;\quad x^2+6x-135=0.

По формуле корней квадратного уравнения:

x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+540}}2=\dfrac{-6\pm24}2.

Корни: $$9$$ и $$-15$$ . Число ячеек положительно, поэтому $$x=9$$ .

Проверка: в первом ящике $$54:9=6$$ рядов, во втором $$6-2=4$$ ряда по $$9+5=14$$ ячеек; всего $4\cdot14=56$ ячеек.

Ответ: $$9$$ ячеек.