77. Вариант 77

Вариант 77

Задание 1

Ответ: в) $x\leqslant-3$ .

$Числовая прямая: x ≤ −3$

Задание 2

Ответ: в) $$-0{,}1$$ и $$5$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$У непрямоугольного параллелограмма противоположные углы не дополняют друг друга до 180°$

Задание 4

Ответ: $1:10\,000\,000$ .

$Масштаб карты: 2,5мм соответствуют25км$

Задание 5

Пусть вписанный угол равен $$x$$ . Тогда дуга, на которую он опирается, равна $$2x$$ . По условию:

$Вписанный угол x опирается на дугу2x$

x+2x=120^\circ;\quad x=40^\circ.

Ответ: $40^\circ$ .

Задание 6

Пусть искомая точка имеет координаты $$(x;y)$$ . По условию $$x=3y$$ . Подставим это выражение в формулу функции:

$График функции$

y=2\cdot3y-35;\quad5y=35;\quad y=7.

Тогда $x=3\cdot7=21$ .

Ответ: $$(21;7)$$ .

Задание 7

Для чётной функции $$f(-x)=f(x)$$ , поэтому $$f(-3)=f(3)=-7$$ , $$f(4)=f(-4)=5$$ . Тогда:

$Симметричные точки графика чётной функции$

2f(-3)+3f(4)=2\cdot(-7)+3\cdot5=1.

Ответ: $$1$$ .

Задание 8

Допустимые значения: $x\ne-4$ . При этом:

$Числовая прямая: ОДЗ: x ≠ −4; корень:3$

\dfrac{x^2+4x}{x+4}=\dfrac{x(x+4)}{x+4}=x.

Поэтому уравнение равносильно уравнению:

x=12-x^2;\quad x^2+x-12=0;

(x+4)(x-3)=0;\quad x=-4\ \text{или}\ x=3.

Значение $$-4$$ не является допустимым. Остаётся корень $$3$$ .

Ответ: $$3$$ .

Задание 9

В $\triangle ABC$ биссектриса $$BK$$ пересекает медиану $$AM$$ в точке $$F$$ . Дано: $S_{ABC}=210$ см⁠ $$^2$$ , $$AB:BC=3:4$$ . Найти $S_{KFMC}$ .

$БиссектрисаBK и медианаAM пересекаются в точкеF$

По свойству биссектрисы $$AK:KC=3:4$$ . Площади треугольников с общей высотой относятся как основания:

$S_{BKC}=\dfrac47\cdot210=120$ см $$^2$$ .

Медиана делит площадь пополам: $S_{ABM}=105$ см $$^2$$ .

В $\triangle ABM$ отрезок $$BF$$ — биссектриса, а $BM=\dfrac12BC$ , поэтому $$AF:FM=AB:BM=3:2$$ .

У $\triangle ABF$ и $\triangle BFM$ общая высота к $$AM$$ . Значит, $S_{BFM}=\dfrac25\cdot105=42$ см $$^2$$ .

$S_{KFMC}=S_{BKC}-S_{BFM}=120-42=78$ см $$^2$$ .

Ответ: $$78$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Пусть первоначально было $$x$$ рядов, $$x>2$$ . Тогда в каждом ряду было $\dfrac{320}{x}$ мест. После изменения стало $$x-2$$ ряда по $\dfrac{320}{x}+5$ мест в каждом. Составим уравнение:

$Изменение рядов и мест в зрительном зале$

(x-2)\left(\dfrac{320}{x}+5\right)=350.

Умножим обе части на $$x$$ и раскроем скобки:

\[320x-640+5x^2-10x=350x;\]

5x^2-40x-640=0;\quad x^2-8x-128=0.

По формуле корней квадратного уравнения:

x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+512}}2=\dfrac{8\pm24}2.

Корни: $$16$$ и $$-8$$ . Условию $$x>2$$ удовлетворяет только $$16$$ . В зале стало $$16-2=14$$ рядов.

Проверка: сначала в ряду было $$320:16=20$$ мест; после изменения стало $14\cdot(20+5)=350$ мест.

Ответ: $$14$$ рядов.