76. Вариант 76

Вариант 76

Задание 1

Ответ: в) $$-8$$ .

$Числовая прямая: x < −6$

Задание 2

Ответ: д) $$-0{,}5$$ и $$4$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$В равностороннем треугольнике все три угла равны 60 градусам$

Задание 4

Ответ: $$(x-4y)(x-4y-1)$$ .

Задание 5

Перенесём слагаемые и приведём подобные:

$График функции$

Получаем систему $\begin{cases}x+2y=-1,\\-x+4y=4.\end{cases}$

На графике: (1) $$y=-0{,}5x-0{,}5$$ , (2) $$y=0{,}25x+1$$ .

Сложив уравнения, получим $$6y=3$$ , откуда $y=\dfrac12$ . Тогда $x=-1-2\cdot\dfrac12=-2$ .

Ответ: $\left(-2;\dfrac12\right)$ .

Задание 6

По формуле члена геометрической прогрессии:

$Семь первых членов геометрической прогрессии со знаменателем2$

b_4=b_1q^3;\quad4=b_1\cdot2^3;\quad b_1=\dfrac12.

Сумма семи первых членов:

S_7=\dfrac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\dfrac{\frac12(128-1)}{2-1}=\dfrac{127}{2}.

Ответ: $$63{,}5$$ .

Задание 7

Дано: $$AB=3$$ см, $$AD=5$$ см, $CD=2\sqrt{10}$ см, $\angle A=120^\circ$ , $\angle C=90^\circ$ . Найти $$BC$$ .

$Четырёхугольник ABCD с диагональюBD$

Проведём $$BD$$ . По теореме косинусов в $\triangle ABD$ :

BD^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ=9+25+15=49.

Так как $\angle C=90^\circ$ , по теореме Пифагора:

$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{49-40}=3$ см.

Ответ: $$3$$ см.

Задание 8

Пусть весь путь равен $$x$$ км. В первый день проехали $$0{,}3x$$ км, осталось $$0{,}7x$$ км. Во второй день проехали $40\%$ остатка:

$Маршрут: 30%, 28% и42% всего пути$

0{,}4\cdot0{,}7x=0{,}28x\text{ км}.

На третий день осталось $$21$$ км, поэтому:

x-0{,}3x-0{,}28x=21;\quad0{,}42x=21;\quad x=50.

Ответ: $$50$$ км.

Задание 9

Первая функция: $$y=(a^2+a+3)x+2$$ .

$График функции$

Две прямые не имеют общих точек, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны.

Здесь свободные члены $$2$$ и $$-2$$ различны. Поэтому:

a^2+a+3=3;\quad a^2+a=0;\quad a(a+1)=0.

Отсюда $$a=0$$ или $$a=-1$$ . При каждом из этих значений получаем различные параллельные прямые $$y=3x+2$$ и $$y=3x-2$$ .

Ответ: $$-1;0$$ .

Задание 10

Дано: ромб $$ABCD$$ , $$P=100$$ см, $AC=\dfrac43BD$ ; $$O$$ — центр вписанной окружности.

Найти: площадь круга.

$Ромб ABCD, диагонали AC и BD, вписанная окружность и радиус OH$

Решение. 1) Сторона ромба $$AD=100:4=25$$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Пусть $$OD=x>0$$ см, тогда $AO=\dfrac43x$ см. В $\triangle AOD$ :

\left(\dfrac43x\right)^2+x^2=25^2;\quad \dfrac{25}{9}x^2=625.

Значит, $$x^2=225$$ , $$OD=15$$ см, $$AO=20$$ см.

2) Проведём радиус $OH\perp AD$ . Он является высотой прямоугольного треугольника $$AOD$$ . Выразим площадь этого треугольника двумя способами:

\dfrac12 AO\cdot OD=\dfrac12 AD\cdot OH;

r=OH=\dfrac{AO\cdot OD}{AD}=\dfrac{20\cdot15}{25}=12\text{ см}.

3) Площадь круга:

S=\pi r^2=\pi\cdot12^2=144\pi\text{ см}^2.

Ответ: $144\pi$ см $$^2$$ .