75. Вариант 75

Вариант 75

Задание 1

Ответ: д) $$-7$$ .

$Числовая прямая: x < −4$

Задание 2

Ответ: в) $$-1$$ и $$-6{,}2$$ .

Задание 3

Ответ: г).

$В прямоугольном треугольнике два острых угла$

Задание 4

Ответ: $$(5x-y)(5x-y-1)$$ .

Задание 5

Перенесём слагаемые и приведём подобные:

$График функции$

\begin{cases}4x-y=-4,\\2x+y=1.\end{cases}

На графике: (1) $$y=4x+4$$ , (2) $$y=1-2x$$ .

Сложим уравнения: $$6x=-3$$ , откуда $x=-\dfrac12$ .

Из второго уравнения $$y=1-2x=1+1=2$$ .

Ответ: $\left(-\dfrac12;2\right)$ .

Задание 6

По формуле $$b_3=b_1q^2$$ получаем:

$Шесть первых членов геометрической прогрессии с q=3$

$2=b_1\cdot3^2;\quad b_1=\dfrac29$ .

Сумма первых шести членов:

$S_6=\dfrac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac29\cdot\dfrac{3^6-1}{3-1}=\dfrac{728}{9}$ .

Ответ: $80\dfrac89$ .

Задание 7

Проведём диагональ $$BD$$ .

$Четырёхугольник ABCD с диагональю BD, углами A60 и C90 градусов$

1) В $\triangle ABD$ по теореме косинусов:

BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos60^\circ=

$=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\dfrac12=49$ .

2) В прямоугольном $\triangle BCD$ по теореме Пифагора:

$BC^2=BD^2-CD^2=49-(3\sqrt5)^2=4$ .

Значит, $$BC=2$$ см.

Ответ: $$2$$ см.

Задание 8

Пусть весь маршрут равен $$x$$ км.

$Маршрут разделён на 40%, 36% и 24% всего расстояния$

После первого дня осталось $$(1-0{,}4)x=0{,}6x$$ км.

Во второй день проехали $0{,}6\cdot0{,}6x=0{,}36x$ км.

На третий день осталось:

$$x-0{,}4x-0{,}36x=0{,}24x$$ км.

По условию $$0{,}24x=18$$ , откуда $$x=18:0{,}24=75$$ .

Ответ: $$75$$ км.

Задание 9

Запишем условие пересечения графиков:

$$a^2x-3ax+2x+2=2x-2$$ ;

$График функции$

$$(a^2-3a)x=-4$$ .

Если $a^2-3a\ne0$ , уравнение имеет один корень, то есть графики пересекаются.

Уравнение не имеет корней, когда $$a^2-3a=0$$ , поскольку тогда получилось бы $$0=-4$$ .

$a(a-3)=0;\quad a=0$ или $$a=3$$ .

Ответ: $0;\ 3$ .

Задание 10

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$ , $OH\perp AD$ , $$OH=r$$ .

$Ромб ABCD с диагоналями AC и BD, вписанной окружностью и радиусом OH$

1) Сторона ромба $$AD=200:4=50$$ см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Пусть $$OD=3t$$ , $$AO=4t$$ .

По теореме Пифагора:

$$AD^2=(3t)^2+(4t)^2=25t^2$$ .

Значит, $$5t=50$$ , $$t=10$$ ; $$OD=30$$ , $$AO=40$$ см.

2) Выразим площадь $\triangle AOD$ двумя способами:

$\dfrac12AO\cdot OD=\dfrac12AD\cdot OH$ .

Отсюда $r=OH=\dfrac{40\cdot30}{50}=24$ см.

3) $S_{\text{круга}}=\pi r^2=\pi\cdot24^2=576\pi$ см $$^2$$ .

Ответ: $576\pi$ см $$^2$$ .