74. Вариант 74

Вариант 74

Задание 1

Ответ: г) $$4$$ .

$Чтение значения f(7)=4 по фрагменту графика$

Задание 2

Ответ: в) $$x^7$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Ромб с неравными диагоналями опровергает равенство диагоналей любого параллелограмма$

Задание 4

Ответ: $$4$$ .

Задание 5

Пусть количество девочек равно $$4k$$ , мальчиков — $$5k$$ .

$Девочки и мальчики: четыре и пять равных частей$

$4k+5k=45;\quad9k=45;\quad k=5$ .

Девочек $4\cdot5=20$ , мальчиков $5\cdot5=25$ .

Разность равна $$25-20=5$$ .

Ответ: девочек на $$5$$ меньше.

Задание 6

Высота к основанию делит его пополам: $$24:2=12$$ см.

$Равнобедренный треугольник с основанием 24, сторонами 15 и вписанной окружностью$

По теореме Пифагора:

$h=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$ см.

$S=\dfrac{24\cdot9}{2}=108$ см $$^2$$ .

$p=\dfrac{15+15+24}{2}=27$ см.

$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{108}{27}=4$ см.

Ответ: $$4$$ см.

Задание 7

\[y=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9.\]

$График функции$

Вершина параболы $$(-2;9)$$ , ветви направлены вниз.

Функция возрастает на $(-\infty;-2]$ и убывает на $[-2;+\infty)$ .

Так как $\sqrt2>0>-2$ , число $\sqrt2$ принадлежит промежутку убывания.

Ответ: да, принадлежит.

Задание 8

Из второго уравнения $$x^2=3-y$$ . Подставим в первое:

$Пересечения окружности x²+y²=9 и параболы y=3−x²$

$3-y+y^2=9;\quad y^2-y-6=0$ ;

$(y-3)(y+2)=0;\quad y=3$ или $$y=-2$$ .

1) При $$y=3$$ : $$x^2=3-3=0$$ , поэтому $$x=0$$ .

2) При $$y=-2$$ : $$x^2=3+2=5$$ , поэтому $x=\pm\sqrt5$ .

Полученные пары удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: $(0;3),\ (\sqrt5;-2),\ (-\sqrt5;-2)$ .

Задание 9

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля:

$Числовая прямая: (1; 3] ∪ [4; 6]$

\begin{cases}\dfrac{(x-3)(x-4)}{x(x-1)}\ge0,\\[5pt]\dfrac{6-x}{x}\ge0.\end{cases}

Второе неравенство даёт $0<x\le6$ .

На промежутке $$(0;1)$$ числитель первой дроби положителен, а знаменатель отрицателен. Эти значения не подходят; $$x=1$$ также исключаем.

При $$x>1$$ знаменатель положителен. Поэтому требуется:

$(x-3)(x-4)\ge0;\quad x\le3$ или $x\ge4$ .

Пересекаем с $$(1;6]$$ .

Ответ: $(1;3]\cup[4;6]$ .

Задание 10

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей. Соединим их с точками касания.

$Две касающиеся окружности, общая касательная BC и треугольник ABC$

1) Радиусы $$O_1B$$ и $$O_2C$$ перпендикулярны касательной $$BC$$ , значит, параллельны.

Точки $$O_1,A,O_2$$ лежат на одной прямой. Поэтому

$\angle BO_1A+\angle CO_2A=180^\circ$ .

2) По теореме об угле между касательной и хордой:

$\angle ABC=\dfrac12\angle BO_1A,\quad\angle ACB=\dfrac12\angle CO_2A$ .

Значит, $\angle ABC+\angle ACB=90^\circ$ , а $\angle BAC=90^\circ$ .

3) $S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12\cdot12\cdot9=54$ см $$^2$$ .

Ответ: $$54$$ см $$^2$$ .