73. Вариант 73

Вариант 73

Задание 1

Ответ: д) $$3$$ .

$Чтение значения f(−3)=3 по фрагменту графика$

Задание 2

Ответ: а) $$x^5$$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Диагонали прямоугольника с неравными сторонами не перпендикулярны$

Задание 4

Ответ: $$2$$ .

Задание 5

Всего частей: $$3+5=8$$ . На одну часть приходится $$24:8=3$$ учащихся.

$Девочки и мальчики: три и пять равных частей$

Девочек $3\cdot3=9$ , мальчиков $5\cdot3=15$ .

Разность равна $$15-9=6$$ .

Ответ: мальчиков на $$6$$ больше.

Задание 6

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$ , где $$ S $$ — площадь треугольника, а $$ p $$ — его полупериметр.

$Равнобедренный треугольник с основанием 12, сторонами 10 и вписанной окружностью$

Высота, проведённая к основанию, делит его пополам. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ см.

$S = \dfrac{12 \cdot 8}{2} = 48$ см $^2; \quad\quad p = \dfrac{12 + 10 + 10}{2} = 16$ см.

$r = \dfrac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: $$3$$ см.

Задание 7

\[y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1.\]

$График функции$

График — парабола с ветвями вверх и вершиной $$(2;1)$$ . Функция возрастает на промежутке $[2;+\infty)$ .

Так как $$7>4$$ , то $\sqrt7>\sqrt4=2$ .

Ответ: да, принадлежит.

Задание 8

Из второго уравнения $$x^2=4-y$$ . Подставим в первое:

$Пересечения окружности x²+y²=16 и параболы y=4−x²$

$4-y+y^2=16;\quad y^2-y-12=0$ ;

$(y-4)(y+3)=0;\quad y=4$ или $$y=-3$$ .

1) При $$y=4$$ : $$x^2=4-4=0$$ , поэтому $$x=0$$ .

2) При $$y=-3$$ : $$x^2=4+3=7$$ , поэтому $x=\pm\sqrt7$ .

Полученные пары удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: $(0;4),\ (\sqrt7;-3),\ (-\sqrt7;-3)$ .

Задание 9

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели отличны от нуля:

$Числовая прямая: (0; 2] ∪ [3; 4]$

\begin{cases}\dfrac{(x-2)(x-3)}{x(x+1)}\ge0,\\[5pt]\dfrac{4-x}{x}\ge0.\end{cases}

Второе неравенство выполняется при $0<x\le4$ .

На этом промежутке $$x(x+1)>0$$ , поэтому первое неравенство равносильно $(x-2)(x-3)\ge0$ .

Отсюда $x\le2$ или $x\ge3$ . Пересекаем с $$(0;4]$$ .

Ответ: $(0;2]\cup[3;4]$ .

Задание 10

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей. Соединим их с точками касания.

$Две касающиеся окружности, общая касательная BC и треугольник ABC$

1) Радиусы $$O_1B$$ и $$O_2C$$ перпендикулярны касательной $$BC$$ , значит, параллельны.

Точки $$O_1,A,O_2$$ лежат на одной прямой. Поэтому

$\angle BO_1A+\angle CO_2A=180^\circ$ .

2) По теореме об угле между касательной и хордой:

$\angle ABC=\dfrac12\angle BO_1A,\quad\angle ACB=\dfrac12\angle CO_2A$ .

Значит, $\angle ABC+\angle ACB=90^\circ$ , а $\angle BAC=90^\circ$ .

3) $S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12\cdot6\cdot8=24$ см $$^2$$ .

Ответ: $$24$$ см $$^2$$ .