71. Вариант 71

Вариант 71

Задание 1

Ответ: д) $$-0{,}5$$ .

$Числовая прямая: x ≥ −0,5$

Задание 2

Ответ: в) $a^3\cdot a^4$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Не все углы параллелограмма равны$

Задание 4

Ответ: $$-8a^2-a$$ .

Задание 5

Число, противоположное числу 4: $$-4. $$ Подставим $$y = -4$$ в уравнение:

$График функции$

-4 = 2x + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -3

Ответ: $$-3.$$

Задание 6

Пусть заданы катет $$a$$ и гипотенуза $$c$$ , причём $$0<a<c$$ .

$Построение прямоугольного треугольника по катету AC и гипотенузе AB$

1) Циркулем отложим на прямой отрезок $$AC=a$$ .

2) Через $$C$$ построим перпендикуляр к $$AC$$ с помощью циркуля и линейки.

3) Проведём окружность с центром $$A$$ и радиусом $$c$$ . Одну из точек её пересечения с перпендикуляром обозначим $$B$$ .

4) Соединим $$A$$ и $$B$$ . Треугольник $$ABC$$ — искомый: $\angle C=90^\circ$ , $$AC=a$$ , $$AB=c$$ .

При $c\le a$ невырожденный треугольник построить нельзя.

Задание 7

ОДЗ: $x\ne0,\ y\ne0,\ 2x\ne y,\ x\ne\pm3y$ .

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

\dfrac{x}{y(2x-y)}-\dfrac{9y}{x(2x-y)}=\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}.

Делитель равен той же дроби, поскольку числитель и знаменатель одновременно меняют знак:

\dfrac{9y^2-x^2}{xy(y-2x)}=\dfrac{x^2-9y^2}{xy(2x-y)}.

Ненулевая дробь, делённая на себя, равна 1.

Ответ: $$1.$$

Задание 8

График проходит через точку $$(0; 3)$$ . Подставляя $$x = 0$$ и $$y = 3$$ в уравнение параболы, получаем: $3 = -2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + c.$

$График функции$

Следовательно, $$c = 3$$ . Тогда уравнение функции имеет вид:

\[y = -2x^2 + 5x + 3\]

Чтобы найти точки пересечения с осью $$Ox$$ , решаем уравнение:

\[-2x^2 + 5x + 3 = 0\]

Применяя формулу для квадратного уравнения, получаем:

x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-4} = \dfrac{-5 \pm 7}{-4}

$x = 3\quad$ и $\quad x = -\dfrac{1}{2}$ .

Значит, точки имеют координаты: $$A(3; 0)$$ и $B\!\Bigl(-\dfrac{1}{2}; 0\Bigr)$ .

Ответ: $$A(3; 0)$$ , $B\!\Bigl(-\dfrac{1}{2}; 0\Bigr)$ .

Задание 9

1) Купили $32:\dfrac14=128$ кг краски.

$Купленная краска составляет четыре двадцать первых массы оставшейся$

2) Купленная краска составляет от оставшейся:

$100\%-80\dfrac{20}{21}\%=19\dfrac1{21}\%=\dfrac4{21}$ .

Значит, на складе осталось $128:\dfrac4{21}=128\cdot\dfrac{21}{4}=672$ кг.

3) Всего до покупки было $$128+672=800$$ кг.

Ответ: $$800$$ кг.

Задание 10

Дано: $BH\perp AC$ ; $$AL$$ — биссектриса; $O=AL\cap BH$ ; $$BO:OH=5:3$$ ; $$BC=12$$ .

$Треугольник ABC с высотой BH и биссектрисой AL, пересекающимися в O$

Найти: радиус $$R$$ описанной окружности.

1) В $\triangle ABH$ отрезок $$AO$$ — биссектриса. Поэтому

$\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{BO}{OH}=\dfrac53$ .

2) Пусть $$AB=5x$$ , $$AH=3x$$ , где $$x>0$$ . По теореме Пифагора:

$BH^2=(5x)^2-(3x)^2=16x^2;\quad BH=4x$ .

3) $\sin A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{4x}{5x}=\dfrac45$ .

4) По теореме синусов $BC=2R\sin A$ . Отсюда

$R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{12}{2\cdot\frac45}=\dfrac{15}{2}=7{,}5$ .

Ответ: $$7{,}5$$ .